2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005.6.4
一.(10分) 设f?x??x6?3x5?14x4?23x3?11x2?13??2005,求f??5?1???2?的值. ??解:记s?5?12,满足s?s?1, (4分) 22f?s??s?s?11s?s?132???3??2?2005???1?2005??1 (6分)
2005二.(15分) 设C???为?1?x?的Maclaurin级数中x项的系数,试求积分
?I???0C??y?1???120051dy
k?1y?k解:C????????1?????2004?2005!?y?1??y?2???y?2005?, (5分)
?C??y?1??2005!12005,C??y?1????y?1???y?2????y?2005?
2005!20051111?y?1??y?2???y?2005??I???0C??y?1??dy?dy?02005!k?1y?kk?1y?k(10分)
1?y?1??y?2???y?2005?10?2006!?2005!?2005?2005!2005!三.(15分) 试证不等式: ?2?2?0sinx2dx?2?2 2???sintdt,（7分） ?解:
?0sinx2dx?112?sint12?sint1??sint1?1??1dt?dt?dt?????0t??t?2?0tt??202?t???设f?t??1?? ， f??t???2?tt???1?t???31???0,f?t?在?0,??上单调减少,(5分) ?t3???02?1?11sinx2dx???2?2????2?2, (3分) ??2??2??1,试证: 2四.(15分) 设f?x?在区间?0,1?上连续,在?0,1?内可导,且f?0??0,f?1????,???0,1?,???,使得 f?????f????????.
解: 设 F?x??f?x??f?1?x??1212x??1?x?, (8分) 22?1??1?F?x?在?0,1?上连续,在?0,1?内可导,F?0??0,F???0,由Rolle定理,????0,?,使得
?2??2?
?1?F?????0,取??1????,1?,得f?????f????????.
?2?五.(15分) 设f?x?在?a,b?上有连续导函数,且f?a??0,试证: ?afb22?b?a?b2??x?dx?????fxdx ?a2解:f2?x????af??t?dt?x2?222?a1dt?a(f??t?)dt??x?a??a(f??x?)dx (10分) xxb2?b?a?b2?x?dx??a(f??x?)dx (5分)
?afb2六.(15分) 设f?x?在?0,??上连续,证明:两个不等式
?2????fx?cosxdx?,?0?4?2?? ??fx?sinxdx??0?4不能同时成立.
解: 用反证法,设两个不等式同时成立,则
?????0??f?x??cosx?dx?0?212??2,??2?????fx?sinxdx?0?21?2 (3分)
?2?sinx?cosx?dx??????fx?cosxdx??0?2?????12?0?f?x??sinx?2dx?12???? ?2矛盾.说明两个不等式不能同时成立. (12分)
七.(15分) 考察所有的具有如下性质的正整数,它们的十进制表示中没有数字9,证明由所有这样的正整数的倒数构成的级数收敛.
解:设Sm表示所考察的级数的m项的部分和,数列?Sm?单调递增,只需证明数列?Sm?有上界. (3分)
对于给定的部分和Sm,令n为整数m中数字的个数,恰好有n个数字,并且十进制表示中每个数字都不是因9的整数个数是8?9n?1个(第一个数字不为零),(如n?1,即1,2,?,8;
9n?1n?2,即10,?,18;20,?,28;?;80,?88;n?3,??),于是它们的倒数的和小于8?n?1于是
109?9??9?Sm?8?8??8??????8???10?10??10?所以原级数收敛. (12分)
2n?12??9?9??8?1????????80, ???10?10??
2005年高等数学竞赛参考答案及评分标准 2005
