1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，且∠BAP＝∠CDP＝90°.
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)若PA＝PD＝AB＝DC，∠APD＝90°，求二面角A-PB-C的余弦值．
解：(1)证明：由已知∠BAP＝∠CDP＝90°， 得AB⊥AP，CD⊥PD. 因为AB∥CD，所以AB⊥PD. 又AP∩PD＝P，所以AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)在平面PAD内作PF⊥AD，垂足为F.
由(1)可知，AB⊥平面PAD，故AB⊥PF，可得PF⊥平面ABCD. 以F为坐标原点，FA―→的方向为x轴正方向，|―AB→|为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz.
由(1)及已知可得A?2?2，0，0??，P??0，0，22??，B?2?2，1，0??
，C?
－
2?2，1，0??
. 所以―PC→＝??－22，1，－22??，―CB→＝(2，0,0)，
―PA→＝?22?2，0，－
2??，―
AB→＝(0,1,0)． 设n＝(x1，y1，z1)是平面PCB的法向量， ?―则??n·
PC→＝0， ?即?－2x1＋y1－2z1＝0，??22
?n·―CB→＝0，??2x1＝0.所以可取n＝(0，－1，－2)．
设m＝(x2，y2，z2)是平面PAB的法向量， ??m·―PA→＝0，
??2x2－2则?即??22z2＝0，
?m·―AB→＝0，?
?y2＝0.
所以可取m＝(1,0,1)． 则cos〈n，m〉＝
n·m－23
|n||m|＝3×2
＝－3.
由图知二面角A-PB-C为钝角，
所以二面角A-PB-C的余弦值为－
3. 3
2．(2019·合肥一检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值． 解：(1)证明：连接AC交BD于点N，连接MN， 则N为AC的中点，
又M为AE的中点，∴MN∥EC. ∵MN?平面EFC，EC?平面EFC， ∴MN∥平面EFC.
∵BF，DE都与平面ABCD垂直，∴BF∥DE. ∵BF＝DE，
∴四边形BDEF为平行四边形，∴BD∥EF. ∵BD?平面EFC，EF?平面EFC， ∴BD∥平面EFC.
又MN∩BD＝N，∴平面BDM∥平面EFC.
(2)∵DE⊥平面ABCD，四边形ABCD是正方形，∴DA，DC，DE两两垂直，如图，建立空间直角坐标系D-xyz.
设AB＝2，则DE＝4，从而D(0,0,0)，B(2,2,0)，M(1,0,2)，A(2,0,0)，E(0,0,4)，
―→―→
∴DB＝(2,2,0)，DM＝(1,0,2)，
―→??2x＋2y＝0，DB＝0，?n·?
设平面BDM的法向量为n＝(x，y，z)，则?得?
―→?x＋2z＝0.??DM＝0，?n·
令x＝2，则y＝－2，z＝－1，
从而n＝(2，－2，－1)为平面BDM的一个法向量． ―→
∵AE＝(－2,0,4)，设直线AE与平面BDM所成的角为θ， ―→|n·AE|45―→
则sin θ＝|cos n，AE|＝―
→＝15， |n|·|AE|45
∴直线AE与平面BDM所成角的正弦值为.
15
3．如图，EA⊥平面ABC ，DB⊥平面ABC，△ABC是等边三角形，AC＝2AE，M是AB的中点．
(1)求证：CM⊥EM;
(2)若直线DM与平面ABC所成角的正切值为2，求二面角B-CD-E的余弦值．
解：(1)证明：因为△ABC是等边三角形，M是AB的中点， 所以CM⊥AM.
因为EA⊥平面ABC，CM?平面ABC，所以CM⊥EA. 因为AM∩EA＝A，所以CM⊥平面EAM. 因为EM?平面EAM，所以CM⊥EM.
(2)以点M为坐标原点，MC所在直线为x轴，MB所在直线为y轴，过M且与直线BD平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系M-xyz，如图所示．
因为DB⊥平面ABC，所以∠DMB为直线DM与平面ABC所成的角，
所以tan∠DMB＝
BD
＝2，即BD＝2MB，所以BD＝AC. MB
不妨设AC＝2，又AC＝2AE，则CM＝3，AE＝1. 故B(0,1,0)，C(3，0,0)，D(0,1,2)，E(0，－1,1)．
―→―→―→―→
所以BC＝(3，－1,0)，BD＝(0,0,2)，CE＝(－3，－1,1)，CD＝(－3，1,2)． 设平面BCD与平面CDE的一个法向量分别为m＝(x1，y1，z1)，n＝(x2，y2，z2)， ―→?BC＝0，?m·?3x1－y1＝0，由?得?令x1＝1，得y1＝3，
―→2z＝0，?1?BD＝0，?m·
所以m＝(1，3，0)．
―→?CE＝0，?n·?－3x2－y2＋z2＝0，由?得?
―→－3x＋y＋2z＝0.?222?CD＝0，?n·
令x2＝1，得y2＝－所以n＝1，－
323
，z2＝. 33
?
?323?
. ，
33?m·n
＝0. |m||n|
所以cos〈m，n〉＝
利用空间向量求空间角解析方法
