2007年数学奥林匹克夏令营竞赛试题及答案
一．选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知向量a、b，设AB?a?2b，BC??5a?6b，CD?7a?2b，则一定共线的三点是 （ A ）
（A）A、B、D （B）A、B、C （C）B、C、D （D）A、C、D
2．已知A??n?N1?n?2006且(n?4， 30）?1?，则card(A)＝ （ C ）(A) 1605. (B) 1537. (C) 1471. (D) 1404.
3．若sinx?siny?1，则cosx?cosy的取值范围是 （ D ） (A) [?2, 2]. (B) [?1, 1]. (C) [0,3]. (D) [?3,3].
4．在△ABC中，a, b, c为三边，A, B, C为内角，且2lgsinB=lgsinA＋lgsinC, 那么xsin2A＋ysinA=a和xsin2B＋ysinC=c的位置关系是 （ D ）
（A）平行. （B）相交. （C）垂直. （D）重合.
5．若m、n??xx?a2?102?a1?10?a0?，其中ai??1，，2，并且，2，3，4，5，6，7?，i?01m?n?636，则实数对(m,n)表示平面上不同点的个数为 （ C ）
（A）60个 （B）70个 （C）90个 （D）120个
解：由6?5?1?4?2?3?3及题设知，个位数字的选择有5种. 因为3?2?1?7?6?10，故 （1） 由3?2?1知，首位数字的可能选择有2?5?10种；
（2） 由3?7?6?10及5?4?1?2?3知，首位数字的可能选择有2?4?8种. 于是，符合题设的不同点的个数为5?(10?8)?90种. 故选（C）．
6． 已知ABCD-A1B1C1D1是边长为1的正方体，P为线段AB1上的动点，Q为底面ABCD上的动点，则PC1?PQ的最小值为 （ A ）
(A)1?215. (B)3. (C)2. (D) ?. 222二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
17．求值：tan70??＝____3_____.
cos10?8．设Sn为等差数列?an?的前n项和，若S5?10，S10??5，则公差为___?1_____. 9．设x?1,y?1，S?min?logx2,log2y,logy(8x2)?，则S的最大值为___2____. 10．已知f(x)?
1a?babx?log3(3x?1)为偶函数，g(x)?2x?x为奇函数，其中a,b为22
复数，则?(ak?bk)的值是______?1________.
k?11000?????11． 设S???1???2???3???n???2006?，其中?n?表示不超过的最大整数，则
?S?的值等于_____242________.
12．已知在三棱锥S-ABC中，底面三角形每个顶点处的三个面角和均为180?，底面三角形三边分别是3,2和5，则该三棱锥的体积是
三． 解答题（本题满分60分，每小题20分）
13．已知数列?an?中，a1?1，an?3?an?3，an?2?an?2. 求a2007.
解：由题设，an?2?an?2，则a2007?a2005?2?a2003?2?2?6 ____． 3?a1?2?1003?2007.
由 an?2?an?2，得an?an?2?2，则an?3?an?3?an?2?2?3?an?2?1(n?1). 于是
a2007?a2006?1?a2005?1?2?a2002?3?1?2?a1999?3?2?1?2?所以 a2007=2007．
易知数列a1?1，a2?2，
，an?n符合本题要求．
?a1?3?668?1?2?2007，
11314. 若函数f(x)??x2?在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b].
22113解 显然，二次函数f(x)??x2?在区间[a,b]上的最值与区间的取法有关，因此需要分情况进
22行讨论.
1）若0?a?b，则f(x)在区间[a,b]上单调递减，故f(a)?2b,f(b)?2a，于是有
?1213?a??2b,??22解之得a?1,b?3，即[a,b]?[1,3]. ?113??b2??2a,?2?22）若a?0?b，则f(x)在区间[a,0]上单调递增，在[0,b]上单调递减，因此f(x)在x?0处取最大值2b，在x?a或x?b处取最小值2a，故2b?1313,b?. 24
11321339?()???0，故f(x)在x?a处取最小值2a，即24232113132a??a2?，解得a??2?17，于是[a,b]?[?2?17,].
224由于a?0，f(b)??3）若a?b?0，则f(x)在区间[a, b ]上单调递增，故f(a)?2a,f(b)?2b，于是有
?1213?a??2a,?1213?22由于方程?x??2x的两根异号，故满足a?b?0的区间不存在. ?11322??b2??2b,?2?2综上所述，所求区间为[1，3]或[?2?17,13]. 4
15．在x轴同侧的两个圆：动圆C1和圆4a2x2?4a2y2?4abx?2ay?b2?0外切
（a,b?N,a?0），且动圆C1与x轴相切，求
（1）动圆C1的圆心轨迹方程L;
22（2）若直线4(7?1)abx?4ay?b?a?6958a?0与曲线L有且仅有一个公共点，求a,b之
值。
解 由4ax?4ay?4abx?2ay?b?0可得(x?22222b211)?(y?)2?()2,由a,b?N，以2a4a4a及两圆在x轴同侧，可知动圆圆心在x轴上方，设动圆圆心坐标为(x,y), 则有
b2121b2b2(x?)?(y?)?y?,整理得到动圆圆心轨迹方程y?ax?bx? (x?).
2a4a4a4a2ab2b(x?) ① （2）联立方程组y?ax?bx?4a2a222 4(7?1)abx?4ay?b?a?6958a?0 ②
2222222消去y得 4ax?47abx?(a?6958a)?0，由??16?7ab?16a(a?6958a)?0, 整理得
7b?a?6958a ③
22从③可知 7a?7a。 故令a?7a1，代入③可得b?7a1?6958a1, 22?7b2?7b. 再令b?7b1，代入上式得 7b1?a1?994a1.
222同理可得，7a1,7b1。可令a?49n,b?49m,代入③可得
7m2?n2?142n ④
对④进行配方，得 (n?71)?7m?71,
对此式进行奇偶分析，可知m,n均为偶数，所以7m?71?(n?71)为8的倍数，所以
2222224m。令
m?4r，则112r2?712 ?r2?45。
所以 r?0,1，2，3，4，5，6.
仅当r?0,4时，71?112r为完全平方数。于是解得
22a?6958,b?0(不合，舍去)
a?6272a?686
b?784b?784
2007年数学奥林匹克夏令营竞赛试题及答案
