数学人教B版必修1学案：2.1.2 函数的表示方法 Word版含解析

⑦函数y＝f(x)＋b(b＞0)的图象由y＝f(x)的图象向上平移b个单位长度得到． 【例4－1】作出下列函数的图象： (1)y＝1－x(x∈Z)；(2)y=1(x＞1)． x

解：(1)这个函数的图象由一些点组成，这些点都在直线y＝1－x上(∵x∈Z，∴y∈Z)，这些点都为整数点，如图所示为函数图象的一部分．

(2)当x＝1时，y＝1，所画函数图象如图．

点技巧 画函数图象的技巧

象画出来，然后再擦去或标出定义域内的部分图象．

【例4－2】求作y＝|x2＋3x－4|的图象．

画某些函数的图象时，可以先不考虑其定义域，把使解析式本身有意义的整个函数的图

分析：函数y＝|f(x)|的图象由y＝f(x)的图象保留x轴上方部分，下方部分翻折到x轴上方得到．

解：作出二次函数y＝x2＋3x－4的图象如图(1)，将x轴下方的部分翻折到x轴上方即得所求函数图象如图(2)．

点技巧 画二次函数图象应注意的问题 个方面．

画二次函数的图象时，要确定其开口方向、对称轴位置、顶点坐标、与坐标轴的交点几

5．与分段函数有关的问题

(1)已知自变量的取值，求函数值．

已知分段函数f(x)的解析式，求f(a)时，首先要根据a所在的范围来确定函数的对应关

?x?1,x?0,?系，再将x＝a代入相应的对应法则即可，如：已知f(x)=?π,x?0,求f(－1)．因为－1

?0,x?0,?＜0，此时f(x)＝0，所以f(－1)＝0.

(2)已知函数值，求自变量的取值．

f(x)是一个分段函数，函数值的取值直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以要对x的可能取值范围逐段进行讨论．

?f1(x),x?I1,即：设分段函数f(x)=?已知f(x0)＝a，求x0.

f(x),x?I.?22步骤如下：

①当x0∈I1时，由f1(x0)＝a，求出x0；

②验证x0是否属于I1，若是则留下，反之则舍去；

③当x0∈I2时，由f2(x0)＝a，求出x0，判断x0是否属于I2，方法同上； ④写出结论．

(3)已知f(x)，解不等式f(x)＞a.

在分段函数的前提下，求某条件下自变量的取值范围(即解不等式)的方法：先假设自变量的值在分段函数定义域的某段上，然后相应求出在这段定义域上自变量的取值范围，再与这段定义域求交集即可．

?f1(x),x?I1,?x?I1,?x?I2,即对于分段函数f(x)=?f(x)＞a等价于?或?

f(x),x?I.f?x??af?x??a.?22?1?2其他分段函数仿照解决．

?x?1,x?2,?2【例5－1】已知函数f(x)=?x?2x,?2?x?2,

?2x?1,x?2.?(1)求f(－5)，f(?3)，f?f????的值； (2)若f(a)＝3，求实数a的值．

解：(1)由－5∈(－∞，－2]，?3∈(－2,2)，???5????2??5∈(－∞，－2]，知 2f(－5)＝－5＋1＝－4，f(?3)＝(?3)2＋2(?3)＝3－23，f??5?5?＝＋1＝??2?2?3?. 2∵?3∈(－2,2)， 2?∴f???5??f????=f?2??3?3??3??3?. ?=??2??=???????2224??????2(2)当a≤－2时，f(a)＝a＋1，即a＋1＝3，a＝2＞－2，不合题意，舍去；

当－2＜a＜2时，f(a)＝a2＋2a，即a2＋2a＝3，a2＋2a－3＝0，解得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3?(－2,2)，∴a＝1符合题意；

当a≥2时，f(a)＝2a－1，即2a－1＝3，a＝2，符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 【例5－2】已知f(x)=??x?2,x??2,若f(x)＞2，求x的取值范围．

??x?2,x??2.解：当x≥－2时，f(x)＝x＋2，由f(x)＞2，得x＋2＞2，解得x＞0，故x＞0； 当x＜－2时，f(x)＝－x－2，由f(x)＞2，得－x－2＞2，解得x＜－4，故x＜－4. 综上可得，x＞0或x＜－4.

点技巧 求解分段函数问题有技巧

(1)求f(f(a))的值时，应从内到外依次取值，直到求出值为止．

(2)已知函数值，求自变量的值时，切记要进行检验．例如【例5－1】第(2)小题易忽略对所得值的验证而得到三个解，解题时一定要注意自变量的范围，只有在自变量确定的范围内才可以进行运算．

(3)已知f(x)，解不等式f(x)时，要先在每一段内求交集，最后求并集．例如【例5－2】中，在x≥－2时，解得x＞0后，需与x≥－2求交集，得x＞0；当x＜－2时，解得x＜－4，与x＜－2求交集，得x＜－4，然后求x＞0与x＜－4的并集得出最后结果．

6．函数图象的简单应用

(1)利用函数图象解方程或判断方程解的个数

求关于x的方程f(x)＝g(x)的实数解或判断其解的个数时，可以构造两个函数y＝f(x)与y＝g(x)，并作出它们的图象，由图象可知原方程实数解即为两个函数图象交点的横坐标，方程的解的个数等于两个函数图象交点的个数．

例如：讨论关于x的方程|x2－4x＋3|＝a(a∈R)的实数解的个数．

可构造两个函数y＝|x2－4x＋3|及y＝a，并作出它们的图象(如图所示)，方程|x2－4x＋3|＝a的实数解就是两个函数图象交点(纵坐标相等)的横坐标x的值，原方程解的个数就是两个函数图象的交点个数，由图可知：

①当a∈(－∞，0)时，原方程没有实数解；

②当a＝0或a∈(1，＋∞)时，原方程有两个实数解； ③当a＝1时，原方程有三个实数解； ④当0＜a＜1时，原方程有四个实数解． (2)利用函数图象解不等式，不等式f(x)＜g(x)的解集?函数y＝g(x)的图象在y＝f(x)图象上方的点的横坐标的取值集合．

例如：解不等式|2x－1|＞x＋2时，就可用数形结合的方法求解，即先作出y＝|2x－1|及

???1??. x＜－，或x＞3y＝x＋2的图象．由图象可知原不等式的解集为x?3??

(3)利用函数的图象求函数的值域．

1??x，0＜x＜1，

例如：求函数y＝?的值域．可以看出，所给函数解析式是分段函数，

??x，x＞11

它的图象由y＝(0＜x＜1)和y＝x(x＞1)两部分组成(如图所示)，观察图象可得此函数的值域

x

为(1，＋∞)．

点技巧 利用图象巧求函数值域

利用图象法求函数值域，关键是准确作出函数的图象．由于分段函数在定义域的不同区间内解析式不一样，因此画图象时要特别注意区间端点处对应点的实虚．

(4)根据函数的图象求其解析式．

例如，下图中的图象所表示的函数的解析式为( )

【例6－1】若x∈R，f(x)是y＝3－x与y＝2x这两个函数的较小者，则f(x)的最大值为( )

2

A．2 B．1

C．－1 D．无最大值

解析：两个函数一个是二次函数，一个是一次函数，f(x)是两个函数的较小者．可先画出两个函数的图象，然后找出f(x)的图象再求其最大值．

在同一坐标系中画出函数y＝3－x2，y＝2x的图象，如图所示，根据题意，坐标系中实线部分即为函数f(x)的图象．

所以x＝1时，f(x)max＝2.选A. 答案：A

谈重点 函数图象的作用

函数图象可以形象地反映函数的性质，通过观察图象可以确定图象的变化趋势、对称性、分布情况等．应用函数图象解题体现了数形结合的思想方法．

??(x?1)2,x??1,?【例6－2】设函数f(x)=?2x?2,?1?x?1,已知f(a)＞1，求a的取值范围．

?1??1,x?1,?x分析：所给函数是分段函数，其图象很容易作出，所以可以利用图象解不等式；另外，也可以对a分三种情况：a≤－1，－1＜a＜1，a≥1，通过解不等式得出a的取值范围．

解法一：(数形结合)

画出f(x)的图象，如图所示，作出直线y＝1，由图可见，符合f(a)＞1的a的取值范围为(－∞，－2)∪???1?,1?. ?2?解法二：(分类讨论)

当a≤－1时，由(a＋1)2＞1，得a＋1＞1，或a＋1＜－1，解得a＞0，或a＜－2.又a≤－1，所以a＜－2.