2.1.2 函数的表示方法
1．函数的表示方法 (1)列表法
通过列出自变量与对应函数值的表来表示函数关系的方法叫做列表法． 比如，某水库的存水量Q与水库最深处的水深H的关系如下表所示： 5 10 15 20 25 30 35 水深H/m 4325 42 85 164 275 437 650 存水量Q/10m 从表中可以看出，每一深度H都对应唯一的一个存水量Q，这个表给出了H与Q之间的对应法则，也就是函数关系．
(2)图象法
用“图形”表示函数的方法叫做图象法．
比如，如图所示为艾宾浩斯遗忘曲线，表示记忆数量(百分比)与天数之间的函数关系．
(3)解析法(公式法)
如果在函数y＝f(x)(x∈A)中，f(x)是用代数式(或解析式)来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析法．(也称为公式法)
比如，计划建成的京沪高速铁路总长约1 305千米，设计时速300～350千米/时．建成后，若京沪高速铁路时速按300千米/时计算，火车行驶x时后，路程为y千米，则y是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x叫做该函数的解析式．
(4)函数的三种表示方法的优缺点比较 表示方法 优点 缺点 不需要计算就可以直接看出与自变量它只能表示自变量可以一一列出的函列表法 的值相对应的函数值 数关系 只能近似地求出自变量的值所对应的图象法 能形象直观地表示出函数的变化情况 函数值，而且有时误差较大 一是简明、全面地概括了变量间的关系，从“数”的方面揭示了函数关系；不够形象、直观、具体，而且并不是所解析法 二是可以通过解析式求出任意一个自有的函数都能用解析法表示出来 变量的值所对应的函数值 (5)用描点法作函数图象的步骤 ①列表：先找出一些(有代表性的)自变量x，并计算出与这些自变量相对应的函数值f(x)，用表格的形式表示出来．
②描点：从表中得到一系列的点(x，f(x))，在坐标平面上描出这些点． ③连线：用平滑曲线把这些点按自变量由小到大的顺序连接起来．
【例1－1】某城市在某一年里各月份毛线的零售量(单位：100 kg)如表所示： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 月份t 81 84 45 46 9 5 6 15 94 161 144 123 零售量y 则零售量是否为月份的函数？为什么？ 解：零售量是月份的函数．
因为对于集合{1,2,3，…，12}中任一个值，由表可知y都有唯一确定的值与它对应，据
函数的定义可知y是t的函数．
【例1－2】已知某人骑车的速度是10千米/时，若他骑车时间为x时，其行驶路程为y千米，试求y关于x的函数关系，分别用解析法和图象法表示．
解：用解析法表示为y＝10x(x≥0)．用图象法表示，如图所示．
2．分段函数
(1)定义：在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．
谈重点 学习分段函数的六要点
1．分段函数的解析式在形式上尽管会有多于一个的表达式，但它仍然表示一个函数，不能理解成几个函数的合并，它的连续与间断完全由对应关系来确定．
2．画分段函数的图象时，一定要考虑区间端点是否包含在内，若端点包含在内，则用实心点“·”表示，若端点不包含在内，则用空心点“。”表示．
?f1(x),x??a,b?,??f2(x),x??b,c?,3．分段函数的标准形式是f?x???写分段函数时，注意其定义域的
?f3(x),x??c,d?,??端点应不重不漏．
4．分段函数的定义域是各段上自变量取值的并集，这一点与函数y＝x－1＋1＋x的
1??x，0＜x＜1，定义域的求法不相同，如函数y＝?的定义域为{x|0＜x＜1}∪{x|x≥1}＝{x|x
??x，x≥1＞0}．分段函数的值域也是各段上的函数值组成的集合的并集．
5．分段函数的图象由几部分构成，有的可以是光滑的曲线，有的也可以是一些孤立的点、线段、射线、直线等．
6．求分段函数的有关函数值的关键是“分段归类”，即自变量的取值属于哪一段，就用哪一段的解析式，一定要坚持定义域优先的原则．
(2)分段函数图象的画法
f1?x?，x∈D1，??
画分段函数y＝?f2?x?，x∈D2，
??…
?D1，D2，…两两交集都是空集?
的图象的步骤是：
①画函数y＝f1(x)的图象，再取其在区间D1上的图象，其他部分删去不要；
②画函数y＝f2(x)的图象，再取其在区间D2上的图象，其他部分删去不要； ③依次画下去；
④将各个部分合起来就是所要画的分段函数的图象．
2
???x＋1?，x≤0，
例如：画函数y＝?的图象的步骤是：
?－x，x＞0?
第一步，画二次函数y＝(x＋1)2的图象，再取其在区间(－∞，0]上的图象，其他部分删去不要；
第二步，画一次函数y＝－x的图象，再取其在区间(0，＋∞)上的图象，其他部分删去不要；
第三步，这两部分合起来就是所要画的分段函数的图象(如图所示)．
?x?2，x??1，?2?1 分析：本题给出的是一个分段函数，函数值的取得直接依赖于自变量x属于哪一个区间，所以，求分段函数的函数值时，首先应确定自变量所在的取值范围，然后按相应的对应法则求值．要求f(f(f(3)))的值，需要确定f(f(3))的取值范围，为此又需确定f(3)的取值范围，可根据由内到外的顺序，依次求出各函数值f(3)，f(f(3))， f(f(f(3)))．若f(a)＝3，因为在各段上，函数值都有可能为3，所以应分三种情况进行 讨论． 解：(1)∵－1＜3＜2，∴f(3)＝(3)2＝3. 又∵3≥2，∴f(f(3))＝f(3)＝2×3＝6. 又∵6≥2， ∴f(f(f(3)))＝f(6)＝2×6＝12. (2)∵当a≤－1时，f(a)＝a＋2. 若f(a)＝3，则a＋2＝3， ∴a＝1(舍去)． ∵当－1＜a＜2时，f(a)＝a2.若f(a)＝3，则a2＝3， ∴a=3，或a=?3(舍去)． ∵当a≥2时，f(a)＝2a.若f(a)＝3，则2a＝3， ∴a=3(舍去)．综上可知，a=3. 2(3)函数f(x)的图象如图所示．
数学人教B版必修1学案：2.1.2 函数的表示方法 Word版含解析
