第十讲 定点问题
一．直线的斜率和截距都未知时，设直线的方程为y?kx?m，利用题意找出k和m的关系式，即只要截距位置和斜率位置的参数是齐次的且为同一个参数都可以求出所过的定点。
二．斜率未知时，证明的过定点的直线的斜率位置必定含有参数，只需要令含有参数部分的x等于零即可消去参数.
三．若动直线的参数位置在截距上，则此时动直线并不是以定点为对称点转动，因此无法证明直线过定点； 注意：在圆锥曲线中证明动直线过定点，则直线方程必定含有一个或两个参数，若含有一个参数，则参数位置肯定不能只在截距上；若含有两个参数，则根据圆锥曲线中给出的条件必定可以求出两个参数之间的等量关系，因此题目的关键即为求出直线方程。
考向一 找出k与m得关系
33x2y2【例1】已知椭圆C：2?2=1（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）22ab中恰有三点在椭圆C上. （1）求C的方程；
（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.
【举一反三】
uuuruuur1.过y?4x上一点P(1,2)，作两条射线交抛物线于A,B两点，且PA?PB?0，则证明AB恒过一定
2点。
2.已知动圆过定点A(4，0)，且在y轴上截得弦MN的长为8．
（1）求动圆圆心的轨迹C的方程；
（2）已知点B(－1，0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．
考向二 利用直线系中参得系数为0
x2y2【例2】对于椭圆2?2?1?a?b?0?，有如下性质：若点?x0,y0?是椭圆上的点，则椭圆在该点处的
abx2y2x0xy0y?3?切线方程为2?2?1．利用此结论解答下列问题．点Q?1,?是椭圆C:2?2?1(a?b?0)上的
abab?2?点，并且椭圆在点Q处的切线斜率为?（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点P在直线x?y?3上，经过点P的直线m，n与椭圆C相切，切点分别为M，N．求证：直线MN必经过一定点．
【举一反三】
1．已知点G在抛物线C：x=4y的准线上，过点G作抛物线C的两条切线，切点分别为A(x1,y1)，B(x2,y2) （1）证明：x1x2+y1y2为定值；
（2）当点G在y轴上时，过点A作直线AM，AN交抛物线C于M，N两点，满足AM?MN.问：直线MN是否恒过定点P，若存在定点，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
2
1． 2
考向三 圆过定点
1x2y2[例3]已知椭圆C：2?2?1(a?0,b?0)，离心率e?，A是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，AF?1，
ab2直线m：x=-4. （1）求椭圆C方程；
（2）直线l过点F与椭圆C交于P、Q两点，直线PA、QA分别与直线交于M、N两点，试问：以MN为直径的圆是否过定点，如果是，请求出定点坐标；如果不是，请说明理由.
【举一反三】
1.若动圆的圆心在抛物线x?12y上，且与直线y?3?0相切，则此圆恒过定点______________．
2x22.已知椭圆E的方程为2?y2?1，点A为长轴的右端点．B、C为椭圆E上关于原点对称的两点．直线AB
a与直线AC的斜率kAB、kAC满足：kAC?kAB??（1）求椭圆E的标准方程；
（2）若直线l:y?kx?t与圆x?y?的圆恒过原点．
221． 22相切，且与椭圆E相交于M、N两点，求证：以线段MN为直径3
2020年高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.10 定点问题(原卷版)
