广东第二师范学院数学建模竞赛样题参考答案
一．相遇概率
设甲乙两人分别在12点x分及y分等可能的到达约定地点，显然，
0?x?60,0?y?60.
若两个人相遇，则有x?y?10，其中样本空间为
A??(x,y)|0?x?60,0?y?60?. y 60 构成平面直角坐标系中的正方形，见右图：
相遇空间为G??(x,y)|x?y?10?
10 0 10 G 60 x 160?60?2??502S2?0.306. 则其相遇概率为P?G?SA60?60二．借书数量
设该专任教师已借出书的册数是时间t的函数x(t)（时间以月为单位），由于专任教师每天借一本书，即一个月借30本，而图书馆平均每月收回借出书的则x(t)满足的微分方程（数学模型）是：
2?dx???x?30 ?dt5??x(0)?02.5 这是一阶线性常微分方程满足条件x(0)?0的初值问题，由常数变易法得到该初值问题的解为：
x(t)?75(1?e2?t5)
由于limx(t)?lim75(1?et???t???2?t5)?75, 故在充分长的时间内，这位专任教师大
约借出了75本书.
三．盐量变化
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设x(t)为t时刻容器内的盐量，开始注水时t?0，则x(0)?10.由于每分钟注入3升0.01公斤/升的盐水，即每分钟加进0.03公斤的盐.另外由于每分钟注入3升盐水，抽出2升盐水，故在t时刻容器内溶液量为100?t(3?2)升，所以t时刻溶液浓度为
x(t)
100?tx(t) 100?t所以在t时刻抽出盐量的速度为 22x?dx??0.03?从而x(t)应满足的微分方程及初始条件为 ?dt100?t
??x(0)?10解得 x(t)?0.01(100?t)?90000 2(100?t)90000?5.115625
(100?60)2当t?60时，x(60)?0.01(100?60)?所以60分钟后，容器内尚剩5.115625公斤的盐.
四．糕点产量
为方便起见，设精制糕点和普通糕点的产量分别为10x千克和10y千克，糕点的利润为Z（千元），由题意得此问题的数学模型为： maxZ?3x?2y
?x?3y?15?2x?2y?12? s.t. ?
3x?y?15???x?0,y?0 y 6 5 (3/2,9/2) 4 3 2 (9/2,3/2) L1 1 x 0 1 2 3 4 5 6 x+y=6 3x+y=15 L3 L2 这是一个线性规划问题. 模型的求解： 用图解法.可行域为：由直线
l1:x?3y?15l2::2x?2y?12l3:3x?y?15及x?0,y?0
组成的凸五边形区域.
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直线l:3x?2y?C在此凸五边形区域内平行移动. 易知：当l过l2与l3的交点时，
?2x?2y?1293 解得：x?,y? Z取最大值. 由?22?3x?y?15Zmax?3?93?2??16.5（千元）. 22故生产精制糕点和普通糕点分别为45千克和15千克，糕点的利润为16.5（千
93元）.由于(,)是直线x?y?6（糖）和直线3x?y?15（蛋）的交点，所以糖
2293和蛋无剩余，面粉的剩余量为15?(?3?)?6（千克）.
22五．贷款选择
设向建行贷款每年还x万元，向工行贷款每年还y万元.因为都是分10年等额还款，故只需比较x、y的大小即可.
先计算x ：10x=10?10?5%?(10?x)5%?(10?2x)5%???(10?9x)5% 根据等差数列前项和公式，得
10x?(10?10?9x)?10?5%?10 ， 10x?15?2.25x ，
2于是得 x?1.2245 （万元）
再计算y：设第i次还款后欠银行的钱为ai（万元），则
a1?10(1?4%)?y
a2?a1(1?4%)?y?10(1?4%)2?y(1?4%)?y
a3?a2(1?4%)?y?10(1?4%)3?y(1?4%)2?y(1?4%)?y
…
a10?a9(1?4%)?y?10(1?4%)10?y(1?4%)9???y(1?4%)?y
而a10?0，即得10(1?4%)10?y(1?1.04?1.042?1.043???1.049) y?10?1.04101.04?1?1.2329（万元）
1.0410?1 x?y，向建设银行贷款更为合算.
六．空投测距
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建立直角坐标系，原点O为飞机所在的位置，如图： 飞机水平飞速度100km/h?y 0 x P(x,-1000) 100?1000?28(m/s).
60?60 物资落下的路线不考虑空气阻力，应是一条抛物线， 它的参数方程是
t??x?2812 ?y??gt?2?其中x、y的单位是m，t是物资下落时间，单位是s，g?9.8m/s2. 设抛物线经过的目的地为P，P的坐标为(x,?1000)，将y??1000代入上面的第2个方程，得t?2000?g2000?14.3(s)，再将t?14.3代入上面的第1个9.8方程，得x?28?14.3?400(m).即飞机应在离目的地水平距离大约400m处抛下救灾物资.
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