又令y???12x?2?0得x??136. ……5分
所以凸区间为(??,?111196),凹区间为(?6,??).拐点为(?6,327). ……7分
4、解： f?(x)?1x?1e ……1分
当x?(0,e)时,f?(x)?0,所以f(x)在[0,e]上单调增加; ……2分 又f(e)?k?0,x充分接近于0时, f(e)?0, ……3分 故f(x)在(0,e)内有且仅有一个零点. ……4分 同理, f(x)在(e,??)内也有且仅有一个零点. ……6分
5、解：解y??3x2?3x?6?3(x?2)(x?1)?0,可得驻点：x1??1,x2?2 ……2分 列表可得
函数的单调递增区间为(??,?1)(2,??)，单调递减区间为(?1,2) ……5分 极大值为y|27x??1?2,极小值y|x?2?0 ……7分
6、解： 原式＝limex?x?1x?0xex?x ＝limex?1x?0xex?ex?1 ＝limexx?0xex?2ex?12
- 6 -
2分
……4分
……6分 ……
7、解 ： 当x单调增加时，函数g(x)?5?4x单调减少， 所以函数y(x)?5?4x也是单调减少。 ……2分 在区间[?1,1]函数y(x)?5?4x是单调的减函数。
所以当x??1时，函数取得最大值y?ymax?3； ……4分 所以当x?1时，函数取得最小值y?ymin?1。 ……6分
8、解 ： y'?1?lnxx2,令y'?0，于是x?e。 当0?x?e时，y'?0，函数单调增加；
当e?x时，y'?0，函数单调减少。 所以函数的单调增区间为：(0,e)；
函数的单调减区间为：(e,??)。 而 y''?2lnx?33x3,令y''?0，于是x?e2。 33函数的凸区间为：(0,e2)；函数的凹区间为：(e2,??)。
9、解： 因为
y'?6x2?2x?4?2(x?1)(3x?2)，
所以令y'?0, 得到x21??1,x2?3。 函数的单调增区间为： (??,?1)23,(?,?； )- 7 -
……2分 ……4分
……5分 ……6分 ……2分
函数的单调减区间为： (?12,3。) ……4分 又由于
y''?12x?2，
于是函数的凸区间为：(??,?16);
函数的凹区间为：(?16,??)。 ……6分
10、解：因为：
y'?e?x?xe?x,'y'?(x?2)?x，e …2分
令
y'?0,y''?0，得到：
y1?1, y2?2。 所以函数的单调增区间为：(??,1)，
函数的单调减区间为：(1,??)。 ……4分 函数的凸区间为：(??,2)，
函数的凹区间为：(2,??)。函数的拐点为：(2,2e?2)。 ……6分
11、解：dydx?3?3t22t, d2y3(t2?1)dx2?4t3 ……3分 d2y3(t2令 dx2??1)4t3?0得 t1??1,t2?1 从而得曲线的可能拐点为 (1, ?2) 和 (1, 4)，又二阶导数在该两点左右异号。所以 (1, ?2) 和 (1, 4) 为曲线的 拐点 ……6分
- 8 -
…
12、解： 令y'?3x2?12x?9?3(x?1)(x?3)?0, 得 x1?1,x2?3. 令 y''?6x?12?0, 得 x3?2. ……3 分 列表如下 x y' y'' (??,1) x=1 0 - (1, 2) - - 单x=2 - 0 调拐点 (2, 3) - + 单x=3 0 + 调极小值 f(3)=-4 (3,??) + - 单+ + 单调y=f(x) 调极大值 f(1)=0 增，凹 减，凹 （2，-2） 减，凸 ……7分
增，凸
13、解： 令 y'?6x2?12x?18?6(x?1)(x?3)?0，得驻点x1??1?[1,4]（舍去）， x2?3 ……3分 比较函数在端点和驻点处的函数值，得函数 y?2x3?6x2?18x?27 在 ?1，4? 上的最大值、最小值为
ymin??27,ymax?32 ……6分
2x2(1?x2)14、解： 令f'(x)??0,f''(x)??0， 得x1??1,x2?0,x3?1， …….3分
1?x2(1?x2)2列表如下 x f'(x) f''(x) y?f(x) (??,?1) -1 - 0 拐点 (-1, 0) - + 单调递减 凸区间 0 0 + 极小值点 (0, 1) + + 单调递增 凸区间 1 + 0 拐点 ……7分 (1,??) - - 单调递减 凹区间 + - 单调递增 凹区间 - 9 -
15、解： f'(x)? x f'(x) f''(x) y?f(x) 1?lnx?3?lnx3?0,得x?e,f''(x)??0,得x?e 1223xx(0,e) + - x?e 0 - (e,e3) - - x?e3 (e3,??) - + 3) e3- 0 单调递增，凹函极大值 数 3单调递减，凹函拐点 (e,单调递减，凸函数 …….6分
数
2x2(1?x2)16、解： y'?，拐点为 (?1,ln2),(1,ln2) ……4分 ,y''?2221?x(1?x) 凹区间为(??,?1)和(1,??), 凸区间为（-1，1） ……6分
17
、
解
：
由
于
y??4x3?16x?4x(x?2)(x?2) ……2分
所以，函数在[-1，3]上的驻点为x?0,x?2 。 ……3分
当x=0时，y=2,x=2时，y=-14 ……5分
而x=-1时，y=-2, x=3时，y=11 ……7分
所以函数的最大值为11，最小值为-14 ……8分
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高等数学第三章微分中值定理与导数的应用
