2020 年高考理科数学《立体几何》题型归纳与训练
【题型归纳】
题型一线面平行的证明
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例 1 如图，高为 1 的等腰梯形 ABCD 中，AM＝CD＝3AB＝1.现将△AMD 沿 MD 折起，使平面 AMD⊥ 平面 MBCD，连接 AB，AC.
试判断：在 AB 边上是否存在点 P，使 AD∥平面 MPC?并说明理由
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【答案】当 AP＝3AB 时，有 AD∥平面 MPC. 理由如下：
连接 BD 交 MC 于点 N，连接 NP.
DN DC 1
在梯形 MBCD 中，DC∥MB，NB＝MB＝2，
AP 1
在△ADB 中，PB＝2，∴AD∥PN.
∵AD?平面 MPC，PN?平面 MPC，
∴AD∥平面 MPC.
【解析】线面平行，可以线线平行或者面面平行推出。此类题的难点就是如何构造辅助线。构造完辅助线， 证明过程只须注意规范的符号语言描述即可。本题用到的是线线平行推出面面平行。 【易错点】不能正确地分析 DN 与 BN 的比例关系，导致结果错误。 【思维点拨】此类题有两大类方法：
1
1. 构造线线平行，然后推出线面平行。
此类方法的辅助线的构造须要学生理解线面平行的判定定理与线面平行的性质之间的矛盾转化关系。在此，我们需要借助倒推法进行分析。首先，此类型题目大部分为证明题，结论必定是正确的，我们以此为前提可以得到线面平行。再次由线面平行的性质可知，过已知直线的平面与已知平面的交线必定平行于该直线，而交线就是我们要找的线，从而做出辅助线。从这个角度上看我们可以看出线线平行推线面平行的本质就是过已知直线做一个平面与已知平面相交即可。如本题中即是过 AD 做了一个平面 ADB 与平面 MPC 相交于线 PN。最后我们只须严格使用正确的符号语言将证明过程反向写一遍即可。即先证 AD 平行于 PN，最后得到结论。构造交线的方法我们可总结为如下三个图形。
P
A B
A
B
A B
α
D
E
D
α
E
C
D
P
一
一 一
一 一一
一 一一
2. 构造面面平行，然后推出线面平行。
此类方法辅助线的构造通常比较简单，但证明过程较繁琐，一般做为备选方案。辅助线的构造理论同上。我们只须过已知直线上任意一点做一条与已知平面平行的直线即可。可总结为下图
A B
C α
一一一
例 2 如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点．
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求证：GF∥平面 ADE；
【答案】解法一：(1)证明：如图，取 AE 的中点 H，连接 HG，HD，
1
又 G 是 BE 的中点，所以 GH∥AB，且 GH＝2AB.
1
又 F 是 CD 的中点，所以 DF＝2CD.
由 四 边 形 ABCD 是 矩 形 得 ， AB∥CD，AB＝CD，所以 GH∥DF，且 GH＝DF， 从而四边形 HGFD 是平行四边形，所以 GF∥DH.
又 DH?平面 ADE，GF?平面 ADE，所以 GF∥平面 ADE. 解法 2：(1)证明：如下图，取 AB 中点 M，连接 MG，MF. 又 G 是 BE 的中点，可知 GM∥AE.
又 AE?平面 ADE，GM?平面 ADE，所以 GM∥平面 ADE.
在矩形 ABCD 中，由 M，F 分别是 AB，CD 的中点得 MF∥AD.
又 AD?平面 ADE，MF?平面 ADE， 所以 MF∥平面 ADE.
又因为 GM∩MF＝M，GM?平面 GMF，MF?平面 GMF， 所以平面 GMF∥平面 ADE.
因为 GF?平面 GMF，所以 GF∥平面 ADE.
【解析】解法一为构造线线平行，解法二为构造面面平行。
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