实变函数与泛函分析基础第三版答案名师
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泛函分析
习题解答
1、设(X,d)为一度量空间，令U(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??}
S(x0,?)?{x|x?X,d(x,x0)??}，问U(x0,?)的闭包是否等于S(x0,?)。
解答：在一般度量空间中不成立U(x0,?)?S(x0,?)，例如：取R1的度量子空间X?[0,1][2,3]，则X中的开球U(1,1)?{x?X;d(1,x)?1}的的闭包是[0,1]，而
S(1,1)?{x?X;d(1,x)?1}?[0,1]{2}
2、设C?[a,b]是区间[a,b]上无限次可微函数全体，定义
d(f,g)??r?0?1|f(r)(t)?g(r)(t)|?C[a,b]按d(f,g)构成度量空间。 max，证明：r(r)(r)21?|f(t)?g(t)|a?t?b证明：（1）显然d(f,g)?0且
1|f(r)(t)?g(r)(t)|?0??r,?t?[a,b]有|f(r)(t)?g(r)(t)|?0，特别当d(f,g)?0??r,rmax(r)(r)21?|f(t)?g(t)|a?t?br?0,?t?[a,b]时有|f(t)?g(t)|?0??t?[a,b]有 f(t)?g(t)。
（2）由函数f(t)??t在[0,??)上单调增加，从而对?f,g,h?C?[a,b]有 1?td(f,g)??r?0?1|f(r)(t)?g(r)(t)|maxr21?|f(r)(t)?g(r)(t)|a?t?b1|f(r)(t)?h(r)(t)?h(r)(t)?g(r)(t)| =?rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)?h(r)(t)?g(r)(t)|r?021|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)| ??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02?1|f(r)(t)?h(r)(t)| =?rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02?
1|h(r)(t)?g(r)(t)| ??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|?|h(r)(t)?g(r)(t)|r?02??1|f(r)(t)?h(r)(t)|1|h(r)(t)?g(r)(t)| ??rmax??rmaxa?t?b1?|f(r)(t)?h(r)(t)|a?t?b1?|h(r)(t)?g(r)(t)|2r?0r?02 ?d(f,h)?d(h,g)?资料内容仅供您学习参考，如有不当之处，请联系改正或者删除2
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即三角不等式成立d(f,g)?d(f,h)?d(h,g)。
3、设B是度量空间X中的闭集，证明必有一列开集O1,O2,而且
?n?1On,包含B，
On?B。
证明：设B为度量空间X中的闭集，作集：On?{x|d(x,B)?1},(n?1,2,……) ，
nOn为开集，从而只要证B??n?1On；
?n?1可实上，由于任意正整数n，有B?On，故：B?另一方面，对任意的x0??n?1On。
On，有0?d(x0,B)?1 ，(n?1,2……) n?n?1令 n??有d(x0,B)?0。所以x0?B（因B为闭集）。这就是说， 综上所证有：B??n?1On?B
On。
d(x,y)也是X1?d(x,y)4、设d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离，证明d(x,y)?距离。
上的
证明：首先由d(x,y)为度量空间(X,d)上的距离且d(x,y)?d(x,y)，因此显
1?d(x,y)然有d(x,y)且d(x,y)?0的充要条件是d(x,y)?0，而d(x,y)?0的充要条件是x?y，因此d(x,y)?0的充要条件是x?y。其次由函数f(t)?d(x,y)?t在[0,??)上单调增加有 1?td(x,y)d(x,z)?d(y,z)?1?d(x,y)1?d(x,z)?d(y,z)d(x,z)d(y,z) ??
1?d(x,z)?d(y,z)1?d(x,z)?d(y,z)d(x,z)d(y,z) ???d(x,z)?d(y,z)1?d(x,z)1?d(y,z)即三角不等式成立。所以d(x,y)也是X上的距离。
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