高考专题突破三高考中的数列问题
考点自测
1.公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4等于()
A.-20B.0C.7D.40 答案A
解析设等比数列{an}的公比为q,其中q≠1, 依题意有-2a2=-3a1+a3,-2a1q=-3a1+a1q2≠0. 即q2+2q-3=0,(q+3)(q-1)=0,
1×[1-?-3?4]
又q≠1,因此有q=-3,S4==-20,故选A.
1+3
222
2.数列{an}中,已知对任意n∈N*,a1+a2+a3+…+an=3n-1,则a21+a2+a3+…+an等于
()
1
A.(3n-1)2B.(9n-1)
21
C.9n-1D.(3n-1)
4答案B
解析a1=2,a1+a2+…+an=3n-1,① n≥2时,a1+a2+…+an-1=3n-1-1,② ①-②得an=3n-1·2(n≥2),
n=1时,a1=2适合上式,∴an=2·3n-1.
22
∴a21+a2+…+an nn
a21?1-9?4?1-9?==
1-91-9
1
=(9n-1). 2
3.等差数列{an}的前n项和为Sn,且a1>0,S50=0.设bn=anan+1an+2(n∈N*),则当数列{bn}的前n项和Tn取得最大值时,n的值是() A.23B.25
C.23或24D.23或25 答案D
50
解析因为S50=(a1+a50)
2=25(a25+a26)=0, a1>0,所以a25>0,a26<0,
所以b1,b2,…,b23>0,b24=a24a25a26<0, b25=a25a26a27>0, b26,b27,…<0, 且b24+b25=0,
所以当数列{bn}的前n项和Tn取得最大值时,n的值为23或25.
21
4.已知数列{an}的前n项和为Sn,对任意n∈N*都有Sn=an-,若1 33的值为________. 答案4 21 解析当n>1时,Sn-1=an-1-, 3322 ∴an=an-an-1, 33∴an=-2an-1, 又a1=-1,∴{an}为等比数列,且an=-(-2)n-1, ?-2?k-1∴Sk=, 3由1 5.把一数列依次按第一个括号内一个数,第二个括号内两个数,第三个括号内三个数,第四个括号内一个数,…循环分为(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,则第50个括号内各数之和为________. 答案392 解析将三个括号作为一组,则由50=16×3+2,知第50个括号应为第17组的第二个括号,即第50个括号中应是两个数.又因为每组中含有6个数,所以第48个括号的最末一个数为 数列{2n-1}的第16×6=96项,第50个括号的第一个数应为数列{2n-1}的第98项,即为2×98-1=195,第二个数为2×99-1=197,故第50个括号内各数之和为195+197=392.故填392. 题型一等差数列、等比数列的综合问题 例1设{an}是公比大于1的等比数列,Sn为数列{an}的前n项和.已知S3=7,且a1+3,3a2,a3+4构成等差数列. (1)求数列{an}的通项; (2)令bn=lna3n+1,n=1,2,…,求数列{bn}的前n项和Tn. ??a1+a2+a3=7, 解(1)由已知得?解得a2=2. ???a1+3?+?a3+4?=6a2, 2 设数列{an}的公比为q,由a2=2,可得a1=,a3=2q, q2 又S3=7,可知+2+2q=7,即2q2-5q+2=0. q1 解得q1=2,q2=. 2∵q>1,∴q=2,∴a1=1. 故数列{an}的通项为an=2n-1. (2)由于bn=lna3n+1,n=1,2,…, 由(1)得a3n+1=23n, ∴bn=ln23n=3nln2. 又bn+1-bn=3ln2,∴{bn}是等差数列, n?b1+bn? ∴Tn=b1+b2+…+bn= 23n?n+1?=·ln2. 23n?n+1? 故Tn=ln2. 2 思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列,其中公比等于1的等比数列也是等差数列.