高中数学二轮复习讲义高考专题突破三

高考专题突破三高考中的数列问题

考点自测

1．公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，且－3a1，－a2，a3成等差数列，若a1＝1，则S4等于()

A．－20B．0C．7D．40 答案A

解析设等比数列{an}的公比为q，其中q≠1， 依题意有－2a2＝－3a1＋a3，－2a1q＝－3a1＋a1q2≠0. 即q2＋2q－3＝0，(q＋3)(q－1)＝0，

1×[1－?－3?4]

又q≠1，因此有q＝－3，S4＝＝－20，故选A.

1＋3

222

2．数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a21＋a2＋a3＋…＋an等于

()

1

A．(3n－1)2B.(9n－1)

21

C．9n－1D.(3n－1)

4答案B

解析a1＝2，a1＋a2＋…＋an＝3n－1，① n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n－1－1，② ①－②得an＝3n－1·2(n≥2)，

n＝1时，a1＝2适合上式，∴an＝2·3n－1.

22

∴a21＋a2＋…＋an nn

a21?1－9?4?1－9?＝＝

1－91－9

1

＝(9n－1)． 2

3．等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，S50＝0.设bn＝anan＋1an＋2(n∈N*)，则当数列{bn}的前n项和Tn取得最大值时，n的值是() A．23B．25

C．23或24D．23或25 答案D

50

解析因为S50＝(a1＋a50)

2＝25(a25＋a26)＝0， a1>0，所以a25>0，a26<0，

所以b1，b2，…，b23>0，b24＝a24a25a26<0， b25＝a25a26a27>0， b26，b27，…<0， 且b24＋b25＝0，

所以当数列{bn}的前n项和Tn取得最大值时，n的值为23或25.

21

4．已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝an－，若1

33的值为________． 答案4

21

解析当n>1时，Sn－1＝an－1－，

3322

∴an＝an－an－1，

33∴an＝－2an－1，

又a1＝－1，∴{an}为等比数列，且an＝－(－2)n－1， ?－2?k－1∴Sk＝，

3由1

5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为________． 答案392

解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为

数列{2n－1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n－1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故填392.

题型一等差数列、等比数列的综合问题

例1设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和．已知S3＝7，且a1＋3,3a2，a3＋4构成等差数列． (1)求数列{an}的通项；

(2)令bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…，求数列{bn}的前n项和Tn.

??a1＋a2＋a3＝7，

解(1)由已知得?解得a2＝2.

???a1＋3?＋?a3＋4?＝6a2，

2

设数列{an}的公比为q，由a2＝2，可得a1＝，a3＝2q，

q2

又S3＝7，可知＋2＋2q＝7，即2q2－5q＋2＝0.

q1

解得q1＝2，q2＝.

2∵q>1，∴q＝2，∴a1＝1. 故数列{an}的通项为an＝2n－1. (2)由于bn＝lna3n＋1，n＝1,2，…， 由(1)得a3n＋1＝23n， ∴bn＝ln23n＝3nln2.

又bn＋1－bn＝3ln2，∴{bn}是等差数列， n?b1＋bn?

∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝

23n?n＋1?＝·ln2.

23n?n＋1?

故Tn＝ln2.

2

思维升华(1)正确区分等差数列和等比数列，其中公比等于1的等比数列也是等差数列．