解析几何常用公式
→→→→→
1. AB,A为AB的起点,B为AB的终点。线段AB的长度称作AB的长度,记作|AB|、数轴上同向且
→、→、
相等的向量叫做相等的向量。零向量的方向任意。在数轴上任意三点A、B、C,向量ABBC...............→的坐标都具有关系:AC=AB+BC、 、AC→→AC.=AB+
→ 就是数轴上的任一个向量,则AB=OB-OA=x-x,d(A,B)=|AB|=|x-x|、 2、设 AB21214、. A(x1,y1),B(x2,y2),则两点A、B的距离公式d(A,B)=?x2-x1?2+?y2-y1?2
2
若B点为原点,则d(A,B)=d(O,A)=x21+y1;
x1+x2y1+y2
5、 A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(2,2)、 A(x,y)关于M(a,b)的对称点B(2x0-x,2y0-y).
6、 直线倾斜角::x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,规定,与x轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°、 7、直线的位置与斜率、倾斜角的关系
①k=0时,倾斜角为0°,直线平行于x轴或与x轴重合.
②k>0时,直线的倾斜角为锐角,k值增大,直线的倾斜角也增大,此时直线过第一、三象限. ③k<0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也增大,此时直线过第二、四象限. ④垂直于x轴的直线的斜率不存在,它的倾斜角为90°、
8、 若直线l上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,则直线l的斜率k=9、直线方程的五种形式
(1)点斜式:经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:斜率存在时,直线方程为 y-y0=k(x-x0);斜率不存在时,直线方程为x=x0、
(2)斜截式:已知点(0,b),斜率为k的直线y=kx+b中,截距b可为正数、零、负数. (3)两点式:
y-y1x-x1
=(x≠x,y≠y) y2-y1x2-x11212
y2-y1
、 x2-x1
xy
(4) 截距式:当直线过(a,0)与(0,b)(a≠0,b≠0)时,直线方程可以写为a+b=1,当直线斜率 不 存在(a=0)或斜率为0(b=0)时或直线过原点时,不能用截距式方程表示直线、 (5)一般式:Ax+By+C=0的形式.(A2?B2?0)
10、 (1)已知两条直线的方程为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0、那么
1
解析几何常用公式
A1B1
①l1与l2相交的条件就是:A1B2-A2B1≠0或A≠B(A2B2≠0).
2
2
A1B1C1
②l1与l2平行的条件就是:A1B2-A2B1=0且B1C2-B2C1≠0或A=B≠C(A2B2C2≠0).
2
2
2
A1B1C1
③l1与l2重合的条件就是:A1=λA2,B1=λB2,C1=λC2(λ≠0)或A=B=C(A2B2C2≠0).
2
2
2
2)已知两条直线的方程为l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2、那么
①l1与l2相交的条件为k1≠k2、
②l1与l2平行的条件为k1=k2且b1≠b2、 ③l1与l2重合的条件为k1=k2且b1=b2、
11、 直线l1:A1x+B1y+C1=0与直线l2:A2x+B2y+C2=0垂直?________、
直线l1:y=k1x+b1与l2:y=k2x+b2垂直?________、
若两直线中有一条斜率不存在时,则另一条的斜率为0,即倾斜角分别为90°与0°,也满足|α-β|=90°、
12、与直线Ax+By+C=0平行的直线可表示为Ax+By+m=0(m≠C); 与直线Ax+By+C=0垂直的直线可表示为Bx-Ay+m=0,
|Ax1+By1+C|
14、 点P(x1,y1)到直线Ax+By+C=0(A2+B2≠0)的距离为d=
A2+B2
应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不就是一般式,则应先把直线方程化为一般式,然后再利用公式求解. 15、点到几种特殊直线的距离:
①点P(x1,y1)到x轴的距离d=|y1| 、②点P(x1,y1)到y轴的距离d=|x1|、
③点P(x1,y1)到直线x=a的距离为d=|x1-a|、 ④点P(x1,y1)到直线y=b的距离为d=|y1-b|、 16.两平行直线l1:Ax+By+C1=0,l2:Ax+By+C2=0,C1≠C2,
则l1与l2的距离为 d=
|C1-C2|
、 22
A+B
两条平行线间的距离公式要求:l1、l2这两条直线的一般式中x的系数相等,y的系数也必须相等;当不相等时,应化成相等的形式,然后求解、 17、 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2;
18、点到圆心的距离为d,圆的半径为r、则点在圆外?d>r;点在圆上?d=r;点在圆内?0≤d 2 解析几何常用公式 垂直线的直线过圆心;②若直线与圆相交,圆心、弦的中点及弦的一个端点组成的三角形就是直角三角形,弦的垂直平分线经过圆心. ④以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0、 21、 形如Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的方程表示圆的等价条件 (1)A=C≠0;x2、y2的系数相同且不等于零; (2)B=0;不含xy项. DE4F (3)(A)2+(A)2-A>0,即D2+E2-4AF>0、 D2E2D2+E2-4F 23.圆的一般方程形式为x+y+Dx+Ey+F=0,配方为 (x+2)+(y+2)=. 4 2 2 D2+E2-4FDE (1)当D+E-4F>0时,它表示以 (-2,-2)为圆心,为半径的圆. 2 2 2 DE (2)当D2+E2-4F=0时,它表示点 (-2,-2). (3)当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形 24、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 25.直线与圆位置关系的判定有两种方法 (1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来判断.若有两组不同的实数解,即Δ>0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ=0,则相切;若无实数解,即Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当d (1)当点(x0,y0)在圆x2+y2=r2上时,切线方程为x0x+y0y=r2; (2)若点(x0,y0)在圆(x-a)2+(y-b)2=r2上,切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2; l 27、若弦长为l,弦心距为d,半径为r,则(2)2+d2=r2、 28、判断两圆的位置关系 3