解析几何常用公式
→→→→→
1. AB,A为AB的起点,B为AB的终点。线段AB的长度称作AB的长度,记作|AB|、数轴上同向且
→、→、
相等的向量叫做相等的向量。零向量的方向任意。在数轴上任意三点A、B、C,向量ABBC．．．．．．．．．．．．．．．→的坐标都具有关系:AC＝AB＋BC、 、AC→→AC．＝AB＋
→ 就是数轴上的任一个向量,则AB＝OB－OA＝x－x,d(A,B)＝|AB|＝|x－x|、 2、设 AB21214、. A(x1,y1),B(x2,y2),则两点A、B的距离公式d(A,B)＝?x2－x1?2＋?y2－y1?2
2
若B点为原点,则d(A,B)＝d(O,A)＝x21＋y1;
x1＋x2y1＋y2
5、 A(x1,y1),B(x2,y2),中点M(2,2)、 A(x,y)关于M(a,b)的对称点B(2x0－x,2y0－y).
6、 直线倾斜角::x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角,规定,与x轴 平行或重合的直线的倾斜角为0°、 7、直线的位置与斜率、倾斜角的关系
①k＝0时,倾斜角为0°,直线平行于x轴或与x轴重合.
②k>0时,直线的倾斜角为锐角,k值增大,直线的倾斜角也增大,此时直线过第一、三象限. ③k<0时,直线的倾斜角为钝角,k值增大,直线的倾斜角也增大,此时直线过第二、四象限. ④垂直于x轴的直线的斜率不存在,它的倾斜角为90°、
8、 若直线l上任意两点A(x1,y1),B(x2,y2)且x1≠x2,则直线l的斜率k＝9、直线方程的五种形式
(1)点斜式:经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:斜率存在时,直线方程为 y－y0＝k(x－x0);斜率不存在时,直线方程为x＝x0、
(2)斜截式:已知点(0,b),斜率为k的直线y＝kx＋b中,截距b可为正数、零、负数. (3)两点式:
y－y1x－x1
＝(x≠x,y≠y) y2－y1x2－x11212
y2－y1
、 x2－x1
xy
(4) 截距式:当直线过(a,0)与(0,b)(a≠0,b≠0)时,直线方程可以写为a＋b＝1,当直线斜率 不 存在(a＝0)或斜率为0(b＝0)时或直线过原点时,不能用截距式方程表示直线、 (5)一般式:Ax＋By＋C＝0的形式.(A2?B2?0)
10、 (1)已知两条直线的方程为l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2:A2x＋B2y＋C2＝0、那么
1
解析几何常用公式
A1B1
①l1与l2相交的条件就是:A1B2－A2B1≠0或A≠B(A2B2≠0).
2
2
A1B1C1
②l1与l2平行的条件就是:A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0或A＝B≠C(A2B2C2≠0).
2
2
2
A1B1C1
③l1与l2重合的条件就是:A1＝λA2,B1＝λB2,C1＝λC2(λ≠0)或A＝B＝C(A2B2C2≠0).
2
2
2
2)已知两条直线的方程为l1:y＝k1x＋b1,l2:y＝k2x＋b2、那么
①l1与l2相交的条件为k1≠k2、
②l1与l2平行的条件为k1＝k2且b1≠b2、 ③l1与l2重合的条件为k1＝k2且b1＝b2、
11、 直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0与直线l2:A2x＋B2y＋C2＝0垂直?________、
直线l1:y＝k1x＋b1与l2:y＝k2x＋b2垂直?________、
若两直线中有一条斜率不存在时,则另一条的斜率为0,即倾斜角分别为90°与0°,也满足|α－β|＝90°、
12、与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线可表示为Ax＋By＋m＝0(m≠C); 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线可表示为Bx－Ay＋m＝0,
|Ax1＋By1＋C|
14、 点P(x1,y1)到直线Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距离为d＝
A2＋B2
应用点到直线的距离公式时,若给出的直线方程不就是一般式,则应先把直线方程化为一般式,然后再利用公式求解. 15、点到几种特殊直线的距离:
①点P(x1,y1)到x轴的距离d＝|y1| 、②点P(x1,y1)到y轴的距离d＝|x1|、
③点P(x1,y1)到直线x＝a的距离为d＝|x1－a|、 ④点P(x1,y1)到直线y＝b的距离为d＝|y1－b|、 16.两平行直线l1:Ax＋By＋C1＝0,l2:Ax＋By＋C2＝0,C1≠C2,
则l1与l2的距离为 d＝
|C1－C2|
、 22
A＋B
两条平行线间的距离公式要求:l1、l2这两条直线的一般式中x的系数相等,y的系数也必须相等;当不相等时,应化成相等的形式,然后求解、 17、 圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2;
18、点到圆心的距离为d,圆的半径为r、则点在圆外?d>r;点在圆上?d＝r;点在圆内?0≤d 2 解析几何常用公式 垂直线的直线过圆心;②若直线与圆相交,圆心、弦的中点及弦的一个端点组成的三角形就是直角三角形,弦的垂直平分线经过圆心. ④以A(x1,y1)、B(x2,y2)为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0、 21、 形如Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示圆的等价条件 (1)A＝C≠0;x2、y2的系数相同且不等于零; (2)B＝0;不含xy项. DE4F (3)(A)2＋(A)2－A>0,即D2＋E2－4AF>0、 D2E2D2＋E2－4F 23.圆的一般方程形式为x＋y＋Dx＋Ey＋F＝0,配方为 (x＋2)＋(y＋2)＝. 4 2 2 D2＋E2－4FDE (1)当D＋E－4F>0时,它表示以 (－2,－2)为圆心,为半径的圆. 2 2 2 DE (2)当D2＋E2－4F＝0时,它表示点 (－2,－2). (3)当D2＋E2－4F<0时,它不表示任何图形 24、直线与圆的位置关系 (1)直线与圆相交,有两个公共点; (2)直线与圆相切,只有一个公共点; (3)直线与圆相离,没有公共点. 25.直线与圆位置关系的判定有两种方法 (1)代数法:通过直线方程与圆的方程所组成的方程组,根据解的个数来判断.若有两组不同的实数解,即Δ>0,则相交;若有两组相同的实数解,即Δ＝0,则相切;若无实数解,即Δ<0,则相离. (2)几何法:由圆心到直线的距离d与半径r的大小来判断:当d (1)当点(x0,y0)在圆x2＋y2＝r2上时,切线方程为x0x＋y0y＝r2; (2)若点(x0,y0)在圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上,切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2; l 27、若弦长为l,弦心距为d,半径为r,则(2)2＋d2＝r2、 28、判断两圆的位置关系 3
解析几何常用公式
