1:3，且成绩分布在?40,100?，分数在?80,90?，?90,100?分别获二等奖和一等奖．按文理科用分层
抽样的方法抽取200人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图．
（1）填写下面的2?2列联表，能否有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？
文科生 理科生 合计 获奖 5 不获奖 [来源:Zxxk.Com] 合计 200
（2）将上述调查所得的频率视为概率，现从参赛学生中，通过分层抽样的方法从这些获奖人中随机抽取4人，再从这4人中任意选取2人，求2人均获二等奖的概率． 临界值表：
P?K2?k0? 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 k0
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 n?ad?bc?2参考公式：K?，其中n?a?b?c?d．
a?bc?da?cb?d????????
6
2
22.（本小题满分12分）
x已知函数f(x)?a(x?lnx)，g(x)?xe.
（1）求函数g(x)在x?0处的切线方程；
（2）设h(x)?f(x)?g(x).当a?1时，求函数h(x)的极大值.
7
文科数学答案
52BCDDA BCABC AD
?0,1? x?1 ??e?2,0?
?y，
17.解：（1）曲线?2?12，即3?2??2sin2??12，由于?2?x2?y2，?sin?23?sin?x2y2?1． 所以3x?4y?12，即?4322（2）将??x?1?tcos?代入3x2?4y2?y?tsin??12中，得?3?sin2??t2?6tcos??9?0，
?6cos??9?0， ，t1t2?23?sin2?3?sin?144??36cos2??36?3?sin2???0，设两根分别为t1，t2，则t1?t2?2MA?MBt1?t2t1?t236211??6cos?????????∴，t1?t2??t1?t2??4t1t2??22?3?sin??3?sin?MAMBMA?MBt1t2t1t2?3?sin??22?12．
3?sin2?122t?t114??12?3?sin??． 所以9MAMBt1t2323?sin?18.（1）
??3x,x?1?1?f?x???x?2,??x?1，所以
2?1??3x,x???2?f11??x?1????x?1?x??22， 或??x??3等价于?3x?3或?????x?2?3??3x?3解得x?1或x??1，所以不等式的解集为{x|x?1或x??1}.
13a?b?2c?， 22（2）由（1）可知，当x??时，
123，所以m?，即f?x?取得最小值3222??1?22??19?2?1?2???a?b?2c??， 由柯西不等式?a?b?c??????2???24???222222整理得a?b?c?3124c3，当且仅当2a?b?时，即a?,b?,c?时等号成立，所以a2?b2?c2的最小值为.
727777319.解：（1）由前三组的数据得x?11，y?26，??xi?x??yi?y??14，??xi?x??8，
i?132i?1??所以b??x?x??yii?1nii?1ni?y??2??x?x?77727??y?x?26??11?．所以a，4444727y关于x的线性回归方程为y??x?．
44 8
??x?（2）由（1）知，y关于x的线性回归方程为y7427． 4???12?当x?12时，y74832711111172783?26?2，当x?8时，y?20?2． ???8???，，44444447427是可靠的． 4??x?所以（1）中所得的线性回归方程ya120.（1）因为f(x)?x2?alnx，定义域为(0,??)，所以f'(x)?x?(x?0)，
2x当a?0时，f'(x)?0，则
f(x)在(0,??)上单调递增. 当aax2?a?0时，f'(x)?x?x?x.
所以当0?x?a时，f'(x)?0；当x?a时，f'(x)?0.
综上所述：当a?0时，f(x)的单调递增区间为(0,??)，无单调递减区间；
当a?0时，f(x)的单调递增区间为(a,??)，单调递减区间为(0,a).
231212x3?x2?1(x?1)(2x2?x?1)2?. （2）当a??1时，设g(x)?x?x?lnx(x?1)，则g'(x)?2x?x??32xxx当x?1时，g'(x)?0，g(x)在(1,??)上是增函数.
162312122323从而g(x)?g(1)??0，即x3?x2?lnx?0，所以x2?lnx?x3.故当x?1时，有x?lnx?x成立
122321.（1）补全2?2列联表如下表．
获奖 不获奖 合计 文科生 5 45 50 2理科生 35 115 150 合计 40 160 200 200??5?115?35?45?25 K???4.167?3.841．所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”．
50?150?40?16062（2）由已知可得，分数在
?80,90?获二等奖的参赛学生中抽取3人，分数在?90,100?获一等奖的参赛
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学生中抽取1人．记二等奖的3人分别为a，b，c，一等奖的1人为A，事件E为“从这4人中抽取2人且这2人均是二等奖”．从这4人中随机抽取2人的基本事件为
?a,b?，?a,b?，?a,A?，?b,c?，?b,A?，
?c,A?，
，共6种，其中2人均是二等奖的情况有
?a,b?，?a,b?，?b,c?共3种，由古典概型的概
1． 2率计算公式得P?E??31?．故2人均获二等奖的概率为62）ex，?切线斜率k?g??0??(0?1）e0?1又?g(0)?0 ?切线方程为y=x 22（1）?g??x??(x?1(x?1)?1?xe（2）当a?1时，h(x)?x?lnx?xe?x?0?，h?(x)?1?1?(x?1)ex?xxxx?，
令M(x)?1?xex，M?(x)??(x?1)ex?0，则M(x)在[0,??)单调递减，又M?0??1?0?0，M(1)?1?e?0，
??x0??0,1?使得M(x0)?1?x0ex0?0，故当x??0,x0?，M(x)?0即h?(x)?0，此时h(x)单调
递增；当x??x0,???，M(x)?0即h?(x)?0，此时h(x)单调递减；且h?(x0)=0
?h(x)极大值?h?x0??x0?lnx0?x0ex0
又x0ex0x?1，?ln（x0ex0)?ln1=0，所以lnx0+lne0?lnx0?x0?0
故h(x)极大值?h?x0??x0?lnx0?x0ex0?0?1=?1.
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黑龙江省哈尔滨市第六中学校2021届高三上学期开学考试数学(文)试题
