总述：求数列通项的方法：累加法、累乘法、待定系数法、阶差法（逐差法）、迭代法、对数变换法、倒数变换法、
一、累加法 适用于：an?1?an?f(n)
转换成an?1?an?f(n)，其中f(n)可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项①若f(n)是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;②若f(n)是关于n的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;④若f(n)是关于n的分式函数，累加后可裂项求和。
例1 已知数列{an}满足an?1?an?2n?1，a1?1，求数列{an}的通项公式。解：由an?1?an?2n?1得an?1?an?2n?1则
an.
an?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?[2(n?1)?1]?[2(n?2)?1]???(2?2?1)?(2?1?1)?1?2[(n?1)?(n?2)???2?1]?(n?1)?1(n?1)n?2?(n?1)?12?(n?1)(n?1)?1?n2例2 已知数列{an}满足an?1?an?2?3?1，a1?3，求数列{an}的通项公式。解；由an?1?an?2?3?1得an?1?an?2?3?1则
nnnan?(an?an?1)?(an?1?an?2)???(a3?a2)?(a2?a1)?a1?(2?3n?1?1)?(2?3n?2?1)???(2?32?1)?(2?31?1)?3?2(3n?1?3n?2???32?31)?(n?1)?33(1?3n?1)?2?(n?1)?31?3?3n?3?n?1?3?3n?n?1*an??a?a?2n(n?N)写出数列?an?的通项公式. n?1n练习1.已知数列的首项为1，且
2n?n?1答案：
练习2.已知数列
百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫an?2?1n
{an}满足a1?3，
an?an?1?1(n?2)n(n?1)，求此数列的通项公式.
答案：裂项求和
二、累乘法
1.适用于： an?1?f(n)an ----------这是广义的等比数列
2．若
an?1a3aa?f(n)，则2?f(1)，，，?f(2)??n?1?f(n)ana1a2annan?1?a1??f(k)两边分别相乘得，a1k?1例4 例4. 已知数列?an?满足a1?解：由条件知
2nan，求an。，an?1?3n?1an?1n，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累乘之，即?ann?1aaa2a3a41123n?1??????????n????????????n?a1a2a3an?1234a1nn又?a1?22，?an?33n三.公式法：已知Sn（即a1?a2???an?f(n)）求an，用作差法：an?n?S1,(n?1)。
Sn?Sn?1,(n?2)例2．已知数列?an?的前n项和Sn满足Sn?2an?(?1),n?1．求数列?an?的通项公式。
解：由a1?S1?2a1?1?a1?1na?S?S?2(a?a)?2?(?1),n?2nnn?1nn?1当时，有
?an?2an?1?2?(?1)n?1,an?1?2an?2?2?(?1)n?2,……，a2?2a1?2.?an?2n?1a1?2n?1?(?1)?2n?2?(?1)2???2?(?1)n?1?2n?1?(?1)n[(?2)n?1?(?2)n?2???(?2)]?2n?12[1?(?2)n?1]?(?1)3n2?[2n?2?(?1)n?1].3经验证a1?1也满足上式，所以an?点评：利用公式an??2n?2[2?(?1)n?1]3?Sn????????????????n?1求解时，要注意对n分类讨论，但若能合写时一定要合并．
?Sn?Sn?1???????n?2练一练：①已知{an}的前n项和满足log2(Sn?1)?n?1，求an；
②数列{an}满足a1?4,Sn?Sn?1?5an?1，求an；3百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫四、待定系数法 适用于an?1?qan?f(n)
基本思路是转化为等差数列或等比数列，而数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。1．形如
an?1?can?d,(c?0,其中a1?a)型
an}为等差数列;an}为等比数列;
（1）若c=1时，数列{
（2）若d=0时，数列{
a（3）若c?1且d?0时，数列{n}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
待定系数法：设
an?1???c(an??),
得
an?1?can?(c?1)?,与题设an?1?can?d,比较系数得
(c?1)??d,所以
??ddd,(c?0)an??c(an?1?)c?1c?1c?1所以有：
d??da?a1??n?c?1?构成以c?1为首项，以c为公比的等比数列，因此数列?所以
an?dddd?(a1?)?cn?1an?(a1?)?cn?1?c?1c?1c?1c?1. 即：
ddd?c(an?){an?}c?1c?1,构造成公比为c的等比数列c?1从
规律：将递推关系
an?1?can?d化为
an?1?而求得通项公式
an?1?dd?cn?1(a1?)1?cc?1逐项相减法（阶差法）：有时我们从递推关系
an?1?can?d中把n换成n-1有an?can?1?d,两式相减有
an?1?an?c(an?an?1)从而化为公比为c的等比数列{an?1?an},进而求得通项公式. an?1?an?cn(a2?a1),再利
用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较复杂.
例6已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。解法一：?an?2an?1?1(n?2), ?an?1?2(an?1?1)
又?a1?1?2,??an?1?是首项为2，公比为2的等比数列 ?an?1?2，即an?2?1nn百度文库爱是看得见萨科技的沃尔克我去额咳咳，省得麻烦迫练习．已知数列
{an}中，
a1?2,an?1?111an?,an?()n?1?122求通项an。 答案：2
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