唐山市2017—2018学年度高三年级第二次模拟考试
理科数学参考答案
一．选择题：
BACDB CDBDC AB 二．填空题：
1
（13）15 （14） 2
（15）1 （16）[2，＋∞)
三．解答题： 17．解：
（1）由题意可知，AD＝1． …1分 在△ABD中，∠DAB＝150°，AB＝23，AD＝1，由余弦定理可知，
3
BD2＝(23)2＋12－2×23×1×－＝19,
2
BD＝19． …6分 （2）由题意可知，AD＝2cosθ，∠ABD＝60°－θ， 在△ABD中，由正弦定理可知， ADAB
＝，
sin∠ABDsin∠ADB
2cosθ即＝43， …10分 sin(60°－θ)
23
整理得tanθ＝． …12分
3
()18．解：
（1）应该选择模型①． （2）剔除异常数据，即组号为4的数据，
1
剩下数据的平均数－x＝(18×6－18)＝18；
5
1－y＝(12.25×6－13.5)＝12． 5
…3分
…5分
i＝15i＝1
∑xiyi＝1283.01－18×13.5＝1040.01；
2
∑x2 i＝1964.34－18＝1640.34．
n
5
…7分
∑xiyi－n·-x-y
1040.01－5×18×12＝1i?＝nb＝ 2≈－1.97， 221640.34－5×18-∑xi－nx
i＝1
…10分
?-a?＝-y－bx＝12＋1.97×18≈47.5，
所以y关于x的线性回归方程为：y?＝－2.0x＋47.5．
…12分
高三理科数学参考答案第 1 页
19．解：
（1）因为平面AA1C1C⊥平面ABC，交线为AC，又BC⊥AC， 所以BC⊥平面AA1C1C，
因为C1C?平面AA1C1C，
从而有BC⊥C1C． …2分 因为∠A1CC1＝90°，所以A1C⊥C1C， 又因为BC∩A1C＝C，
B1 所以C1C⊥平面A1BC，
A1B?平面A1BC，
z C1 A1 C A y 所以CC1⊥A1B． …5分 （2）如图，以C为坐标原点，分别以
x B →CB，→CA的方向为x轴，y轴的正方
向建立空间直角坐标系C-xyz． 由∠A1CC1＝90°，AC＝2AA1得 A1C＝AA1．
不妨设BC＝AC＝2AA1＝2，
则B(2，0，0)，C1(0，－1，1)，A(0，2，0)，A1(0，1，1)，
所以A→1C1＝(0，－2，0)，→BC1＝(－2，－1，1)，→AB＝(2，－2，0)， 设平面A1BC1的一个法向量为m，
由A→1C1·m＝0，→BC1·m＝0，可取m＝(1，0，2)．
…8分
设平面ABC1的一个法向量为n，
由→BC1·n＝0，→AB·n＝0，可取n＝(1，1，3)．
…10分 cos?m，n?＝m·n755
|m||n|
＝55，
…11分
又因为二面角A1-BC1-A为锐二面角，
所以二面角A755
1-BC1-A的余弦值为55
．
…12分
20．解：
（1）设直线l的方程为x＝my＋1，A(x1，y21)，B(x2，y2)，
由??y＝4x，?x＝my＋1，
得y2－4my－4＝0， y1＋y2＝4m，y1y2＝－4．
…3分
所以k＋k
4
4
4(y1＋y2)
OAOB＝y＋＝＝－4m＝4．
1y2y1y2
所以m＝－1，
所以l的方程为x＋y－1＝0．
…6分
（2）由（1）可知，m≠0，C(0，－ 1
m
)，D(2m2＋1，2m)．
则直线MN的方程为y－2m＝－m(x－2m2－1)，则 M(2m2＋3，0)，N(0，2m3＋3m)，F(1，0)，
…8分
高三理科数学参考答案第 2 页
(m2＋1)(2m2＋1)211132
S△NDC＝·|NC|·|xD|＝·|2m＋3m＋|·(2m＋1)＝，
22m2|m|11
S△FDM＝·|FM|·|yD|＝·(2m2＋2)·2|m|＝2|m| (m2＋1)， …10分
22S△NDC(2m2＋1)21则＝＝m2＋2＋1≥2， 24m4mS△FDM
11
当且仅当m2＝2，即m2＝时取等号．
4m2
S△NDC
所以，的最小值为2． …12分
S△FDM
其它解法参考答案给分． 21．解：
1
1－－lnx
x
（1）f?(x)＝．
(x－1)2
…1分 …2分
1 11 1－x
令h(x)＝1－－lnx，则h?(x)＝2－＝2，x＞0，
xxxx所以0＜x＜1时，h?(x)＞0，h(x)单调递增，
又h(1)＝0，所以h(x)＜0，
即f?(x)＜0，所以f(x)单调递减．
－－－
（2）g?(x)＝axlna＋axa1＝a(ax1lna＋xa1)，
…5分
1 －－－－
当0＜a≤时，lna≤－1，所以ax1lna＋xa1≤xa1－ax1．
elnxlna－－
由（Ⅰ）得＜，所以(a－1)lnx＜(x－1)lna，即xa1＜ax1，
x－1a－1所以g?(x)＜0，g(x)在(a，1)上单调递减， 即g(x)＞g(1)＝a＋1＞1． 1
当＜a＜1时，－1＜lna＜0． e
…8分
令t(x)＝ax－xlna－1，0＜a＜x＜1，则t?(x)＝axlna－lna＝(ax－1)lna＞0， 所以t(x)在(0，1)上单调递增，即t(x)＞t(0)＝0， 所以ax＞xlna＋1． …10分
－
所以g(x)＝ax＋xa＞xa＋xlna＋1＝x(xa1＋lna)＋1＞x(1＋lna)＋1＞1． 综上，g(x)＞1． …12分 22．解：
（1）曲线C1的直角坐标方程为：x2＋y2－2y＝0；
曲线C2的直角坐标方程为：x＝3．
?
， 2
…4分
（2）P的直角坐标为(－1，0)，设直线l的倾斜角为α，0＜α＜
()?x＝－1＋tcosα， ?
则直线l的参数方程为：?t为参数，0＜α＜
2?y＝tsinα，
()高三理科数学参考答案第 3 页
代入C1的直角坐标方程整理得，
t2－2(sinα＋cosα)t＋1＝0， t1＋t2＝2(sinα＋cosα)
4
直线l的参数方程与x＝3联立解得，t3＝， …7分
cosα
由t的几何意义可知，
4λ
|PA|＋|PB|＝2(sinα＋cosα)＝λ|PQ|＝，整理得，
cosα
?
4λ＝2(sinα＋cosα)cosα＝sin2α＋cos2α＋1＝2sin2α＋＋1，
4
5? ? ? ?
由0＜α＜，＜2α＋＜，
2444
1 ? ? ?
所以，当2α＋＝，即α＝时，λ有最大值(2＋1)． …10分
4284
23．解：
a＋b22
（1）由题意得(a＋b)＝3ab＋1≤3＋1，当且仅当a＝b时，取等号．
2
解得(a＋b)2≤4，又a，b＞0， 所以，a＋b≤2． …4分 （2）不能成立．
a＋cb＋d
ac＋bd≤＋，
22
因为a＋b≤2，
c＋d
所以ac＋bd≤1＋， …7分
2
因为c＞0，d＞0，cd＞1，
c＋dc＋dc＋dc＋d
所以c＋d＝＋≥＋cd＞＋1，
2222
故ac ＋bd ＝c＋d不能成立． …10分
()
()高三理科数学参考答案第 4 页
2018唐山二模理数答案
