大一第二学期高等数学期中考试试卷
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分），请将合适的答案填在空中。
1、已知球面的一条直径的两个端点为?2，?3，5?和?4，1，?3?，则该球面的方程为
______________________
2、函数u?ln(x?y2?z2)在点A(1,0,1)处沿点A指向点B(3,?2,2)方向的方向导数为 3、曲面z?x2?y2与平面2x?4y?z?0平行的切平面方程为 4、lim(1?cos(x2?y2))sinxy(x?y)e2(x,y)?(0,0)222x2?y2?
?2z?_______________ 5、设二元函数z?xy?xy，则
?x?y3二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）。以下每道题有四个答案，其中只有一个答案是正确的，请选出合适的答案填在空中，多选无效。 1、旋转曲面x2?y2?z2?1是（ ）
（A）．xOz坐标面上的双曲线绕Ox轴旋转而成； （B）．xOy坐标面上的双曲线绕Oz轴旋转而成； （C）．xOy坐标面上的椭圆绕Oz轴旋转而成； （D）．xOz坐标面上的椭圆绕Ox轴旋转而成．
2、微分方程y???y?2xcosx?3x2的一个特解应具有形式（ ） 其中a1,b1,a2,b2,d1,d2,d3都是待定常数.
(A).x(a1x?b1)cosx?x(a2x?b2)sinx?d1x2;
(B).x(a1x?b1)cosx?x(a2x?b2)sinx?d1x2?d2x?d3; (C).x(a1x?b1)(a2cosx?b2sinx)?d1x2?d2x?d3; (D).x(a1x?b1)(cosx?sinx)?d1x2?d2x?d3
y?1z与平面?:x?2y?? z?4,则 （ ） ?22?2? (A).L在?内; (B).L与?不相交; (C).L与?正交; (D).L与?斜交. 4、下列说法正确的是（ ）
rrrr(A) 两向量a与b平行的充要条件是存在唯一的实数?，使得b??a；
?2z?2z(B) 二元函数z?f?x,y?的两个二阶偏导数2,2在区域D内连续，则在该区域内两
?x?y个二阶混合偏导必相等；
(C) 二元函数z?f?x,y?的两个偏导数在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微的充分条
3、已知直线L:x?2?件；
(D) 二元函数z?f?x,y?的两个偏导数在点?x0,y0?处连续是函数在该点可微 的必要条件.
?2z5、设z?f(2x?y,x?2y),且f?C（即函数具有连续的二阶连续偏导数），则（ ） ??x?y2 (A)2f11?2f22?3f12; (B)2f11?f22?3f12; (C)2f11?f22?5f12; (D)2f11?2f22?f12.
三、计算题（本大题共29分）
1、（本题13分）计算下列微分方程的通解。
(1)（6分）y??1?x?y2?xy2
(2)（7分）y???3y??2y?xe2x
2、（本题8分）设z?uv2?tcosu，u?et，v?lnt，求全导数
3、（本题8分）求函数f?x,y??e2x?x?y2?2y?的极值。 四、应用题（本题8分）
dz。 dt1、某工厂生产两种型号的机床，其产量分别为x台和y台，成本函数为
c(x,y)?x2?2y2?xy （万元），若市场调查分析，共需两种机床8台，求如何安排生
产使其总成本最少？最小成本为多少？ 五、综合题（本大题共21分）
yzxz?????1???11、（本题10分）已知直线l1：?bc，l2：?ac，求过l1且平行于l2的平面方
???x?0?y?0程．
2、（本题11分）设函数f(x,y,z)?lnx?lny?3lnz 在球面
x2?y2?z2?5R2(x?0,y?0,z?0)上求一点，使函数f(x,y,z)取到最大值．
六、证明题（本题共12分）
1、设函数u?xkF?,?z?xy??，其中k是常数，函数F具有连续的一阶偏导数．试证明:x?y?? x?x?u?u?u?z?y?z?kxkF?,?x?y?z?x第二学期高等数学期中考试试卷答案
一、填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分） 1.、 ?x?3?2??y?1?2??z?1?2?21 2、．
3、2x?4y?z?5?0． 4、0
125、2y?3x2；
二、选择填空题（本题满分15分，共有5道小题，每道小题3分）
1（A） 2（B） 3（C） 4（C） 5（A）
三、计算题（本大题共29分）
1、（1）解：将原微分方程进行分离变量，得：
dy?(1?x)dx 1?y2dyx2 上式两端积分得??arctany??(1?x)dx?x??c
21?y2x2?c 其中c为任意常数． 即 ： arctany?x?2（2）解：题设方程对应的齐次方程的特征方程为r2?3r?2?0,特征根为r1?1, r2?2,于
是，该齐次方程的通解为Y?C1x?C2e2x,因??2是特征方程的单根，故可设题设方程的特解：y*?x(b0x?b1)e2x.代入题设方程,得2b0x?b1?2b0?x,比较等式两端同次幂的系数,得b0?, b1??1,
于是，求得题没方程的一个特解y*?x(x?1)e2x.
1212 从而，所求题设方程的通解为y?C1ex?C2e2x?x(x?1)e2x. 2、解：
?z??uv2?tcosu?v2?tsinu， ?u?u?z??z ?uv2?tcosu?2uv，?cosu
?v?v?t12???? 依复合函数求导法则，全导数为
2x2??fx?x,y??e?2x?2y?4y?1??0?1?3、解：解方程组?，得驻点,?1??。由于2x2????fx,y?e2y?2?0????yA?fxx?x,y??4e2xx?y2?2y?1，B?fxy?xy??4e2x?y?1?，C?fyy?x,y??2e2x在点
???1??1?22?,?1?处，A?2e?0，B?0，C?2e，AC?B?4e，所以函数在点?,?1?处取得?2??2?e?1?极小值，极小值为f?,?1???。
2?2?四、应用题（本题8分）
1、解：即求成本函数c?x,y?在条件x?y?8下的最小值 构造辅助函数 F?x,y??x2?2y2?xy??(x?y?8)
?Fx??2x?y???0?解方程组 ?Fy???x?4y???0
?F??x?y?8?0??解得 ???7,x?5,y?3
这唯一的一组解，即为所求，当这两种型号的机床分别生产5台和3台时，总成本最小，最小成本为：c(5,3)?52?2?32?5?3?28（万） 五、综合题（本大题共21分）
1、解：直线l1与l2的方向向量分别为
??11?11??s1??0，，???1，0，0???0，，??，
bc?cb?????11?1??1 s2??，0，????0，1，0???，0，?，
c?a??a?c????111?作 n?s1?s2??，?，?2?，
bcc??ca??111???0，0，cP取直线l1上的一点P，则过点且以n??，?，?2?为法向量的平11bcc??caxyz面???1?0 ， abc就是过l1且平行于l2的平面方程．
2、解：设球面上点为(x,y,z)．
令 L(x,y,z,?)?lnx?lny?3lnz??(x2?y2?z2?5R2)，
z2由前三个式子得x?y?，代入最后式子得x?y?R,z?3R．由题意得f(x,y,z)在
3球面上的最大值一定存在，因此唯一的稳定点(R,R,3R)就是最大值点，最大值为
22f(R,R,3R)?ln(33R5)．
六、证明题（本题共12分）1、证明：
所以，x?u?u?u?y?z ?x?y?z
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