第八篇 立体几何
第1讲 空间几何体及其表面积与体积
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、填空题 1．以下命题：
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；
④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台． 其中正确命题的个数是________．
解析 命题①错，因为这条边若是直角三角形的斜边，则得不到圆锥．命题②题，因这条腰必须是垂直于两底的腰．命题③对．命题④错，必须用平行于圆锥底面的平面截圆锥才行． 答案 1
2．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的四个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析 ①显然可能；②不可能；③取一个顶点处的三条棱，连接各棱端点构成的四面体；④取正方体中对面上的两条异面对角线的四个端点构成的几何体；⑤正方体ABCD －A1B1C1D1中，三棱锥D1－DBC满足条件．
答案 ①③④⑤
3．在三棱锥S－ABC中，面SAB，SBC，SAC都是以S为直角顶点的等腰直角三角形，且AB＝BC＝CA＝2，则三棱锥S－ABC的表面积是________． 1
解析 设侧棱长为a，则2a＝2，a＝2，侧面积为3×2×a2＝3，底面积为32×2＝3，表面积为3＋3. 4
答案 3＋3
4．若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． ??πrl＝2π，
解析 设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，则?∴
2??πr＝π，??r＝1，
? ??l＝2.∴h＝
l2－r2＝
22－12＝3.
123∴圆锥的体积V＝3π·1·3＝3π. 3
答案 3π
5．(2012·新课标全国卷改编)平面α截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面α的距离为2，则此球的体积为________．
解析 如图，设截面圆的圆心为O′，M为截面圆上任一点，则OO′＝2，O′M＝1，∴OM＝
4
?2?2＋1＝3，即球的半径为3，∴V＝3π(3)3＝43π.
答案 43π
6.如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
3
解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为2，212
连接顶点和底面中心即为高，可求得高为2，所以体积V＝3×1×1×2＝26. 2
答案 6 9π
7．(2013·天津卷)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若球的体积为2，则正方体的棱长为________．
49π
解析 设正方体的棱长为a，外接球的半径为R，由题意知3πR3＝2，∴R3＝273，而R＝82. 424?3?2
由于3a＝4R，∴a＝3R＝3×?2?＝3，∴a＝3. ??
2
2
2
答案 3
8.如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE，△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为________．
解析 如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，1312
CH，容易求得EG＝HF＝2，AG＝GD＝BH＝HC＝2，∴S△AGD＝S△BHC＝2×2212×1＝4，∴V＝VE－ADG＋VF－BHC＋VAGD－BHC＝2VE－ADG＋VAGD－BHC＝3×4122×2×2＋4×1＝3.
2
答案 3 二、解答题
9.如图，在三棱锥P－ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，AP＝BP＝AB，PC⊥AC.
(1)求证：PC⊥AB；
(2)求点C到平面APB的距离． (1)证明 取AB中点D，连接PD，CD.
因为AP＝BP，所以PD⊥AB， 因为AC＝BC，所以CD⊥AB.
因为PD∩CD＝D，所以AB⊥平面PCD.因为PC?平面PCD，所以PC⊥AB. (2)解 设C到平面APB的距离为h，
则由题意，得AP＝PB＝AB＝AC2＋BC2＝22， 所以PC＝AP2－AC2＝2.
13
因为CD＝2AB＝2，PD＝2PB＝6， 所以PC2＋CD2＝PD2，所以PC⊥CD.
由(1)得AB⊥平面PCD，于是由VC－APB＝VA－PDC＋VB－PDC， 11得3·h·S△APB＝3AB·S△PDC，
AB·S△PDC
＝
S△APB
1
22×2×2×232×?22?4
23＝3.
所以h＝
23
故点C到平面APB的距离为3.
10．有一个倒圆锥形容器，它的轴截面是一个正三角形，在容器内放一个半径为r的铁球，并注入水，使水面与球正好相切，然后将球取出，求这时容器中水的深度．
解 如图所示，作出轴截面，因轴截面是正三角形，根据切线性质知当球在容器内时，水的深度为3r，水面半径BC的长为3r，则容器内水的体积为 145
V＝V圆锥－V球＝3π(3r)2·3r－3πr3＝3πr3，
将球取出后，设容器中水的深度为h， 3
则水面圆的半径为3h，从而容器内水的体积为
创新设计高考数学苏教理一轮题组训练：空间几何体及其表面积与体积
