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专题十 回归分析和独立性检验学生版
1、回归分析
(1)相关关系：当自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系，与函数关系不同，相关关系是一种非确定关系.
(2)散点图：表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图，它可直观地判断两变量的关系是否可以用线性关系表示．若这些散点有y随x增大而增大的趋势，则称两个变量正相关；若这些散点有y随x增大而减小的趋势，则称两个变量负相关.
∑xy－nxy
^^^^i＝1ii^－^
(3)回归方程：y＝bx＋a，其中b＝n，a＝y－bx；
2
∑x2i－nxi＝1(4)相关系数：r＝
； 22
?i∑x2y2i－nx??∑i－ny?＝1i＝1
n
nn
∑xiyi－nxyi＝1
n
它主要用于衡量线性相关程度．当r＞0时表示两个变量正相关，当r＜0时表示两个变量负相关．|r|
越接近1，表明两个变量的线性相关性越强；当|r|接近0时，表明两个变量间相关性越弱.
2、独立性检验
(1)2×2列联表：设X，Y为两个分类变量，其样本频数列联表(2×2列联表)如下：
y1 y2 总计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d n?ad－bc?222
(2)独立性检验：利用随机变量K(也可表示为X)＝(其中n＝a＋b＋c＋d为样
?a＋b??c＋d??a＋c??b＋d?
本容量)来判断“两个变量有关系”的方法称为独立性检验．
(3)独立性检验的一般步骤
①根据样本数据列出2×2列联表；
②计算随机变量K2的观测值k，查表确定临界值k0：
③如果k≥k0，就推断“X与Y有关系\\”，这种推断犯错误的概率不超过P(K2≥k0)；否则，就认为在犯错误的概率不超过P(K2≥k0)的前提下不能推断“X与Y有关”．
一、相关系数及应用
【例1】 (2019·四川资阳模拟)在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是( )
A．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20% B．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20% C．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20% D．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%
【练习1】对四组数据进行统计，获得以下关于其相关系数的比较，正确的是( )
A．r2 B．r4 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 【例2】(2017·课标全国Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm)．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸： 抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8 零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16 零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 16161161161162222经计算得x＝i∑x＝9.97，s＝∑ ?x－x?＝?∑x－16x?≈0.212，i∑ ?i－8.5?≈18.439，∑ ＝1i＝116＝1i16i＝1i16i＝1i(xi－x)(i－8.5)＝－2.78，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，i＝1,2，…，16. (1)求(xi，i)(i＝1,2，…，16)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的 进行而系统地变大或变小(若|r|<0.25，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)； (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(x－3s，x＋3s)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查． ①从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？ ②在(x－3s，x＋3s)之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．(精确到0.01) 附：样本(xi，yi)(i＝1,2，…，n)的相关系数r＝ i＝1n ∑ ?xi－x??yi－y? i＝1 n i＝1 ∑ ?xi－x?2∑ ?yi－y?2 n .0.008≈0.09. 【练习】 (2019·广州调研)某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜．过去50周的资料显示，该地周光照量X(单位：小时)都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周．根据统计，该基地的西红柿增加量y(千克)与使用某种液体肥料的质量x(千克)之间的对应数据为如图所示的折线图． (1)依据折线图计算相关系数r(精确到0.01)，并据此判断是否可用线性回归模型拟合y与x的关系；(若|r|＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合) (2)蔬菜大棚对光照要求较高，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系： 周光照量X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70 光照控制仪运行台数 3 2 1 对商家来说，若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪产生的周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元．若商家安装了3台光照控制仪，求商家在过去50周的周总利润的平均值． ? (xi－x)(yi－y) i=1 n 相关系数公式：r＝， ? (xi－x)2 i=1 n ? (yi－y)2 i=1 n 参考数据：0.3≈0.55，0.9≈0.95. 二、求线性回归方程 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 【例3】(2019·湘东五校联考)已知具有相关关系的两个变量x，y的几组数据如下表所示： x 2 4 6 8 10 y 3 6 7 10 12 (1)请根据上表数据在网格纸中绘制散点图； ^^^ (2)请根据上表数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a，并估计当x＝20时y的值． ?xiyi－nx y ^参考公式：b＝ i＝1 n n ^^，a＝y－bx. 2 ?x2i－nx i＝1 【例4】近期，某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次，统计数据如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 y 60 110 210 340 660 1 010 1 960 根据以上数据，绘制了散点图（如右图）． 参考数据： y 621 v 2.54 ?xiyi i=17?xivi i=17100.54 3.47 25 350 78.12 17 其中vi＝lg yi，v＝?vi. 7i=1 (1)根据散点图判断，在推广期内，y＝a＋bx与y＝c·dx(c，d均为大于零的常数)哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及上表中数据，建立y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次． ^^^ 参考公式：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线v＝α＋βμ的斜率和截距的最小 ?uivi－n u v i=1 n 二乘估计公式分别为β＝ ?u2i－n u i=1 n ^^ ，α＝v－β U. 2 【练习1】(2019·惠州调研)某商场为了了解毛衣的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表： 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 月平均气温x/℃ 月销售量y/件 17 24 13 33 8 40 2 55 ^^^^由表中数据算出线性回归方程y＝bx＋a中的b＝－2，气象部门预测下个月的平均气温约为6 ℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为( ) A．46件 C．38件 B．40件 D．58件 【练习2】(2019·湖南郴州模拟)某公司想了解对某产品投入的宣传费用对该产品的营业额的影响．下面是以往公司对该产品的宣传费用x(单位：万元)和产品营业额y(单位：万元)的统计折线图． (1)根据折线图可以判断，可用线性回归模型拟合宣传费用x与产品营业额y的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立产品营业额y关于宣传费用x的回归方程； (3)若某段时间内产品利润z与宣传费用x和营业额y的关系为z＝x(y－1.01x－0.09)＋50，应投入宣传费用多少万元才能使利润最大？并求最大利润． 参考数据：∑yi＝37.28，∑xiyi＝160.68，i＝1i＝1 n 7 7 i＝1 ∑ ?yi－y?2＝2.2，7≈2.65. ＝－－ ∑xy－nxyiii＝1 nni＝1 n 7 参考公式：相关系数r＝ ∑ ?xi－x??yi－y?i＝1 nni＝1 ， ∑ ?xi－x?2i∑ ?yi－y?2 ＝1∑ ?xi－x?2i∑ ?yi－y?2 ＝1 nn －－ ∑ ?x－x??y－y?∑xy－nxyiiii i＝1^^^^i＝1 回归方程y＝a＋bx中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b＝＝n， n222 ∑ ?xi－x?∑xi－nxi＝1i＝1 ^^ a＝y－bx，(计算结果保留两位小数) 【练习3】某电视厂家准备在元旦举行促销活动，现根据近七年的广告费与销售量的数据确定此次广告费支出．广告费支出x(万元)和销售量y(万台)的数据如下： 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理 广告费支出x 销售量y 1 1.9 2 3.2 4 4.0 6 4.4 11 5.2 13 5.3 19 5.4 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系，求出y关于x的线性回归方程； ^ (2)若用y＝c＋dx模型拟合y与x的关系，可得回归方程y＝1.63＋0.99x，经计算线性回归模型和该模型的R2分别约为0.75和0.88，请用R2说明选择哪个回归模型更好； (3)已知利润z与x，y的关系为z＝200y－x.根据(2)的结果，求当广告费x＝20时，销售量及利润的预报值． ^^^ 参考公式：回归直线y＝a＋bx的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ?xiyi－n x y ^i=1b＝ x2i－n i=1 n ? (xi－x)(yi－y) i=1 n ? n ＝x 2 ? (xi－x)2 i=1 n ^^ ，a＝y－b x，参考数据：5≈2.24. 【练习4】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x(单位：千元)对年销售量y(单位：t)和年利润z(单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值． 素材来源于网络，林老师搜集编辑整理
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