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(整理)考研数学复习资料

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不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.

8.2 偏导数 1. 已知

f(x?y,ey)?x2y,求f(x,y)

y?y?lnv 令x?y?u,e?v那么解出x,y得?,

x?u?lnv?所以或者

8.3全微分极其应用

1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系 偏导数偏导数

f(u,v)?x2(u,v).y(u,v)?(u?lnv)2.lnv f(u,v)?(u?lnv)2.lny

fx?, fy?连续?Z可微? Z?f(x,y)连续? f(x,y)极限存在 fx?, fy?连续?偏导数fx?, fy?存在

2. 判断二元函数

?xy?f(x,y)??3x2?y2?0?(x,y)?(x0,y0)(x,y)?(x0,y0)在原点处是否可微.

对于函数

f(x,y),先计算两个偏导数:

f(?x,0)?f(0,0)0?0fx?(0,0)?lim?lim?0

?x?0?x?0?x?xfy?(0,0)?lim?x?0f(0,?y)?f(0,0)0?0?lim?0 ?x?0?y?y?x?y22??(?x)?(?y)??56又

x?x0y?y0limf(?x,?y)?f(0,0)?fx?(0,0)?x?fy?(0,0)?y(?x)?(?y)22?limx?x0y?y0

令?y?k?x,则上式为limk(?x)2(1?k)?x52653?x?0?k(1?k)5?x?026lim?x?0

13因而

f(x,y)在原点处可微.

8.4多元复合函数的求导法则 1. 设z?f(xy),fx?y可微,求dz.

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dz?f?(?f?(

xyxyxy(x?y)d(xy)?xyd(x?y))d()?f?()x?yx?yx?y(x?y)222xyyxyy?)dx?f()dyx?y(x?y)2x?y(x?y)2

8.5隐函数的求导

1. 设x?x(y,z),y?y(x,z),z?z(x,y)都是由方程F(x,y,z)?0所确定的具有连续偏导数

的函数,证明

?x?y?z..??1. ?y?z?x对于方程

F(x,y,z)?0,如果他满足隐函数条件.例如,具有连续偏导数且Fx??0,则由方程

F(x,y,z)?0可以确定函数x?x(y,z),即x是y,z的函数,而y,z是自变量,此时具有偏导

Fy??xFz??x??数,???z?yFx?Fx?同理,

F??y??z?zFy?,所以

?x?y?z..??1. ?y?z?x

8.6多元函数的极值及其求法 1.设

f(x,y)在点p0(x0,y0)处具有偏导数,若fx?(x,y)?0,fy?(x,y)?0则函数f(x,y)在该点

取得极值,命题是否正确?

不正确,见多元函数极值存在的充分必要条件.

2.如果二元连续函数在有界闭区域内有惟一的极小值点,且无极大值,那么该函数是否在该点取得最小值? 不一定,对于一元函数来说上述结论是成立的,但对于多元函数,情况较为复杂,一般来说结论不能简单的推广。

例如,二元函数Z?f(x,y)?3x2?3y2?x3,(x2?y2?16)

由二元函数极值判别法:

?z?6x?3x2?0,解得 x1?0,x2?2, ?x?z?6y?0, 解得 y?0 ?y故得驻点M1?(0,0),M2?(2,0)

?2z?2z?2z?0, C?2?6 A?2?6?6x,B??x?y?y?x精品文档

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AC?B2?36(1?x)

由于 以及

AC?B2(0,0)0,AC?B2(2,0)0,

A(0,0)0,所以M1?(0,0),是函数的惟一极小值点,但是f(4,0)??16f(0,0),

f(0,0)不是f(x,y)在D上的最小值.

第十一章 无穷级数

11.1常数项级数的概念和性质

1?2n?1n(?1)n21un??nnn?1??1. 若通项an?0,则级数

?n?1?ann收敛,这种说法是否正确?否

an11?(an?2)n2n

2. 若级数

??an?1n加括号后所成的新级数发散,则原级数必定发散,而加括号后所的级数收敛,则无

法判定原级数的敛散性,这种说法是否正确?正确

11.2常数项级数的审敛法

1. 若级数

?un?1?n收敛,则级数

?un?1?2n一定收敛。判断这句话是否正确?

(?1)n不正确,如?nn?1?,un2?1 n

2. 若正项级数

?an收敛,判断级数?n?1??n?1ann的敛散性。

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??an111?(an?2),由于?an收敛,?2n2nn?1n?1n 收敛 因为收敛,于是

?n?1?ann收敛。

3. 收敛则一定绝对收敛,绝对收敛不一定收敛。

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精品文档不可以,因为洛必塔法则的理论基础是柯西中值定理.8.2偏导数1.已知f(x?y,ey)?x2y,求f(x,y)y?y?lnv令x?y?u,e?v那么解出x,y得?,x?u?lnv?所以或者8.3全微分极其应用1.写出多元函数连续,偏导存在,可微之间的关系
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