上教版高三数学教材中样本标准差公式合理性初探
华东师范大学附属周浦中学
【摘 要】摘 要 上教版高三数学教材中给出的样本方差、样本标准差的计算公式不同于其他版本的教材，给学生学习带来困扰.从用样本标准差评价总体标准差时需遵守的三大标准：无偏性、有效性、一致性出发，说明上教版样本标准差作为总体标准差的点估计值的合理性. 【期刊名称】中学数学教学 【年(卷),期】2024(000)003 【总页数】3
【关键词】关键词 样本；标准差 教 学参 考
上教版高三数学(试用本)中给出的样本方差、样本标准差的计算公式不同于其他版本的教材，教材中也没有给出说明，给广大老师的教学和学生的学习带来不少困扰.
方差和标准差给出的是一组数据偏离平均数程度的大小，数值越小，说明这组数据越向平均数集中，数据越大，说明这组数据偏离平均数的程度越大.在某些统计问题中，做不到也没必要对总体中的每一个个体进行研究，就需要从总体中抽样研究.那么怎么用样本的标准差来估计总体的标准差呢？不同的版本有不同的说明：
1 对方差和标准差的定义
1.1 上教版
设总体有N个个体，它们分别为x1,x2,…,xN,总体平均数为μ…+xN),总体方
差…+(xN-μ)2],σ叫做总体标准差；
如果样本为x1,x2,…,xn,样本平均值为,用样本的标准差作为总体标准差的点估计值. 1.2 人教版
设有n个数据x1,x2,…,xn,各数据与它们的平均数x的差的平方分别是(x1-x)2,(x2-x)2,…,(xn-x)2,我们用这些值的平均数，即用…+(xn-x)2]来衡量这组数据的波动大小，称它为这组数据的方差. 1.3 苏教版
一般地，设一组样本数据x1,x2,…,xn,其平均数为x,则称为这个样本的方差，其算术平方根为样本的标准差. 1.4 《教育统计与测评导论》
设(X1,X2,…,Xn)为从总体X中抽出的一个样本，称为样本方差，为样本标准差.
2 典型例题
2.1 上教版高三数学(试用本)第108页例1：
某赛季甲乙两名篮球运动员在若干场比赛中的得分情况如下：甲：18、20、21、22、23、25、28、29、30、30、32、34.乙：8、13、14、16、23、26、28、33、38、39、48.问谁的比赛成绩比较稳定.(结果精确到0.01) 解析 易得甲乙两名运动员每场得分的平均值均为26分.
设甲得分的标准差为s1,记甲的每场得分与其得分平均值的差的平方和为∑1,则∑1=(18-26)2+(20-26)2+(21-26)2+…+(32-26)2+(34-26)2=296, ≈5.19(分).
设乙得分的标准差为s2,同理得
≈12.63(分).
因为s2>s1,所以甲运动员的比赛成绩比较稳定. 2.2 上教版高三数学(试用本)第106页例3:
为了解某体校学生长跑的情况，观察随机抽取的20名学生一周内跑步的累积千米数，在各个区间内频数记录如下表所示： 求一周内学生平均累积跑步的千米数及其标准差.
解析 先求出各个区间的中点值：8、13、18、23、28、33、38. 利用公式,得 s=
,其中xi,fi分别为第i个区间的中点值和频数，i=1,2,…,m,n=f1+f2+…+fm. 本题中，n=20,m=7.经计算得：x=24.5,s=8.29.
因此可知：学生平均每周累计跑24.5千米，标准差为8.29千米. 2.3 2009年重庆高考卷(文科)
从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下(单位：克)125 124 121 123 127则该样本标准差s=______(克)(用数字作答)． 解析 因为样本平均数，则样本方差 ,所以s=2.
以上三个例题都用到了样本标准差，由于教材不同，选用了不同的公式，那么，上教版中的样表标准差为什么要除以n-1？这么做能消除系统偏差的依据是什么呢？对应地，样本均值为什么没有除以n-1呢？
3 基本原理
上教版高三数学教材中样本标准差公式合理性初探
