第3章 高斯有色噪声中的谐波恢复
§3.1 模型假设
我们关心这样一类有噪观测值
y(n)?x(n)?w(n)??ai(n)Sn(?i)?w(n) （3.1）
i?1p其中，Sn(?)为信号波形（通常已知），?i为未知常数，ai(n)为非高斯随机过程或随机变量。附加噪声w(n)假设为能谱密度未知的高斯有色噪声，且w(n)与x(n)相互独立。
在噪声中谐波恢复RHN（Retrieve Harmonic in Noise）问题中，如果信号x(n)包含p个复数谐波分量，且各个谐波频率各不相同。这时Sn(?i)??iexp(j?in)，
ai?exp(j?i)，其中?i和?i为未知常数，?i为独立地服从同一分布的(i.i.d.)随机变量，且?i在[??,?)上服从均匀分布，则
x(n)??aiexp[j(?in??i)] (3.2)
i?1p称作复数谐波信号。如果x(n)包含p个实数谐波分量，则
x(n)??aicos(?in??i) (3.3)
i?1p称作实数谐波信号。
我们感兴趣的问题是怎样由有噪观测值y(n)估计谐波数目p，谐波频率?i及谐波幅度?i。
§3.2 谐波信号的高阶累积量特性
1. 谐波信号的高阶累积量特性
由第1章可知，零均值实数高斯随机过程yi的二阶、三阶和四阶累积量分别为
cum(yi,yj)?E[yiyj] cum(yi,yj,yk)?E[yiyjyk]
cum(yi,yj,yk,yl)?E[yiyjykyl]?E[yiyj]E[ykyl]
1
?E[yiyk]E[yjyl]?E[yiyl]E[yjyk] (3.4) 由于式（3.1）中过程y(n)可能为复数，因此需要定义复数过程的高阶累积量。复数过程的k阶累积量可以有2k种不同的定义方式（k项中的任何一项都可以取共轭或不取共轭）。对于不同的随机过程，需要根据其特征选取不同的定义方式。这可以从下面的引理加以说明。
引理3.1 设随机变量?在[??,?)上服从均匀分布，且s?ej?，则s的各阶累积量分别为
E[s]?0
cum(s,s)?0，cum(s?,s)?E[s]?1
2cum(s,s,s)?cum(s?,s,s)?0 cum(s,s,s,s)?cum(s?,s,s,s)?0
cum(s?,s?,s,s)?E[s]?[E(s2)]2?2E[s]E[s]??1
422该引理的证明由累积量的定义式（3.4）容易得到。
由此可知，单个谐波s?ej?的三阶累积量恒等于零，对于一般的谐波信号，我们有如下定理
定理3.1 谐波信号式（3.2）和式（3.3）的三阶累积量恒等于零，即
cum(x(n),x(n?m1),x(n?m2))?cum(x*(n),x(n?m1),x(n?m2))?0 (3.5) 对于观测过程y(n)，我们有下列推论：
推论3.1 设w(n)为高斯（白色或有色）噪声，x(n)为谐波信号式(3.2)或式(3.3)，且w(n)与x(n)相互独立，则y(n)?x(n)?w(n)的三阶累积量恒等于零，即 cum(y(n),y(n?m1),y(n?m2))?cum(y*(n),y(n?m1),y(n?m2))?0 (3.6) 该推论说明高斯噪声中的谐波恢复问题不能利用三阶累积量信息来处理。
下面讨论复数谐波信号的四阶累积量。由于式(3.2)中信号x(n)是平稳的，所以{x(n),x(n?m1),x(n?m2)x(n?m3)}的四阶累积量必须与变量n无关。由于
RHN问题的复数谐波信号x(n)可以表示成复数指数和的形式，故四项中的两项
必须取共轭。这样，我们给出四阶累积量的定义如下：
2
c4,y(m1,m2,m3)?cum(y*(n),y*(n?m1),y(n?m2),y(n?m3)) (3.7)
其中cum(x0,x1,x2,x3)的表达式见式(3.4)。
与传统的定义方式一样，我们定义零均值复数平稳随机过程y(n)的自相关函数为
ry(m)?cum(y*(n),y(n?m) (3.8) 现在讨论谐波信号的四阶累积量特性。
定理3.2 对于模型(3.1)，设ai(n)为零均值独立非高斯随机过程，其四阶累积量为c4,ai(m1,m2,m3),w(n)为高斯噪声，则y(n)的四阶累积量为
**c4,y(m1,m2,m3)??Sn(?i)Sn?m1(?i)Sn?m2(?i)Sn?m3(?i)c4,ai(m1,m2,m3) (3.9)
i?1p若ai(n)为零均值独立的非高斯随机变量ai，且ai的二阶和四阶累积量分别为?2,a(i)和?4,a(i)，则
**c4,y(m1,m2,m3)??Sn(?i)Sn?m1(?i)Sn?m2(?i)Sn?m3(?i)?4,a(i) (3.10)
i?1p且
*ry(m)??Sn(?i)Sn?m(?i)?2,a(i)?rw(m) (3.11)
i?1p定理3.3 对于式(3.2)中的复数谐波信号x(n)，其四阶累积量为
c4,x(m1,m2,m3)????kexp{j?k(?m1?m2?m3)}
k?1p4其自相关函数为
?x(m)???kexjp?k(m)
k?1p4定理3.4 对于式(3.3)中的实数谐波信号x(n)，其四阶累积量为
1p4c4,x(m1,m2,m3)????k[cos?k(m1?m2?m3)?cos?k(m2?m3?m1)
8k?1 ?cos?k(m3?m1?m2)]
3
其自相关函数为
1p4 rx(m)???kcos?k(m)
2k?1由定理3.3和定理3.4可以得到下列推论：
推论3.2 式(3.2)中复数谐波信号的四阶累积量的一维对角切片为 c4,x(m)?c4,x(m,m,m)????kexpj?(km)
k?1p4推论3.3 式(3.3)中实数谐波信号的四阶累积量的一维对角切片为
3p4 c4,x(m)?c4,x(m,m,m)????kcos?(km)
8k?1下面给出广义复数谐波信号和广义实数谐波信号的定义。
定义3.2 如果
2 ~x(n)???kexp{j(?kn??k)} (3.12)
k?1px(n)为广义复数谐波信号。 其中，?k，?k和?k如式(3.2)，则称~定义3.3 如果
~x(n)???k2co(?skn??k) (3.13)
k?1px(n)为广义实数谐波信号。 其中，?k，?k和?k如式(3.3)，则称~容易证明，谐波信号的四阶累积量的一维对角切片与广义谐波信号的自相关函数之间有如下关系。
定理3.5 复数谐波信号(式(3.2))的四阶累积量的一维对角切片c4,x(m)与广义复数谐波信号(式(3.12))的自相关函数r~x(m)的关系为 c4,x(m)??r~x(m)
定理3.6 实数谐波信号(式(3.3))的四阶累积量的一维对角切片c4,x(m)与广义实数谐波信号(式(3.13))的自相关函数r~x(m)的关系为
3 c4,x(m)??r~x(m)
4定理3.5和定理3.6表明，谐波信号的四阶累积量的一维对角切片正好与具有相同频率及相应幅度的广义谐波信号的自相关函数相等(若不考虑因子-1或-3/4)。
2．线性预测方程
4
我们知道，复数谐波信号满足以下具有零输入的AR(p)模型
m?0?a(m)x(n?m)?0
pp其中a(0)?1，且多项式A(z)??a(m)z?m的根为z?ej?i(i?1,2,?,p)。而实数
m?0谐波信号则满足以下AR(2p)模型
2pm?0?a(m)x(n?m)?0
2p其中多项式A(z)??a(m)z?m的根为z?e?j?i(i?1,2,?,p)。于是有下列定理。
m?0定理3.7 对于有噪观测值y(n)?x(n)?w(n)，其中w(n)为白噪声，且
2rw(m)??w?(m)，如果x(n)为复数谐波信号，则基于自相关的线性预测方程
p
m?0?a(m)r(k?m)??y2wa(k)
成立；如果x(n)为实数谐波信号，则基于自相关的线性预测方程 成立。
定理 3.8 对于有噪观测值y(n)?x(n)?w(n)，其中w(n)为i.i.d.非高斯白噪声，且c4,w(m1,m2,m3)??4,w?(m1,m2,m3)。如果x(n)为复数谐波信号，则基于四阶累积量的线性预测方程
m?0?a(m)r(k?m)??y2p2wa(k)
m?0?a(m)cp4,y(m1,m2,k?m)??4,wa(k)
成立；如果x(n)为实数谐波信号，则方程 成立。
定理3.9 对于有噪观测值y(n)?x(n)?w(n)，其中w(n)为高斯噪声(白色
5
m?0?a(m)c2p4,y(m1,m2,k?m)??4,wa(k)
高阶谱讲义第3章
