数学基础
许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算。矢量的代数描述及其运算将利用矩阵这个工具。在许多科技著作中并不区分矢量与矩阵的概念。然而，在理论力学中这两种数学量必须加以区分。为此本章简要介绍本课程将要涉及到的有关内容，涉及 (1)几何矢量及其导数，相应的运算；
(2)矢量及其导数代数描述，它们的矩阵表达，相应的运算。 本章内容及学习要求：
要求 必修 矩阵导数的定义及其计算 必修 矢量基的运算 算与坐标阵运算的关系，矢量与矢径的关系 其计算，几何矢量导数运算与坐标阵及其导数运算的关系 方向余弦阵的基本概念, 方向余弦阵的性质 修 修 修 必修 平面矢量及其代数描述，平面矢量的运算与坐标阵运算间的关必系，平面问题的方向余弦阵的性质及其运算 修 节 小节 知识点 矩阵的基本概念，矩阵的运算 1.1矩阵 1.1.1矩阵的定义与运算 1.1.2矩阵的导数 1.2矢量 基与基矢量 1.2.2矢量的代数描述 1.2.3矢量的导数 1.3方向余弦阵 1.4平面矢量 1.2.1矢量,矢量几何矢量的概念与运算，矢量基的概念及其矢量列阵的描述，必矢量(矢径)的分量,坐标阵与坐标方阵的概念，几何矢量的运必矢量对时间的导数的定义，矢量在某基上对时间导数的定义及必
1.1 矩阵
1.1.1 矩阵的定义与运算
(1)矩阵的基本概念
矩阵(列阵)的定义, 矩阵的转置，矩阵用列阵分块表示。 方阵，单位阵，对称阵与反对称阵。
如果对于 n 阶方阵A ，其元素满足 Aij=Aji (i, j = 1, ? , n)，即有 则称方阵A为对称阵。
如果 Aij=－Aji (i, j = 1, …, n)，即有
(1.1-4)
则称方阵A为反对称阵。显然，对于反对称阵，有
(i=1, …, n)
(1.1-5)
例如，在如下的方阵中
，，
方阵A与C为对称阵，B为反对称阵。此外，C也为三阶单位阵，可表为I3。 (2)矩阵的基本运算
两矩阵相等，矩阵与矩阵的相加（减），标量与矩阵的乘积；矩阵与矩阵的乘积。 (3)矩阵运算的性质 矩阵运算的结合律与交换律 (4)矩阵的可逆运算
满秩方阵(非奇异阵)与逆矩阵，正交阵，一些有用的公式
满秩方阵(非奇异阵)与逆矩阵
对于方阵A，如果存在一个同阶的方阵B，两方阵的积为单位阵，即有
则称方阵A为满秩方阵或非奇异阵。 方阵B为方阵A的逆矩阵，记为 A-1 。即有
(1.1-19)
可以证明以下等式成立
(1.1-20)
正交阵
满足如下等式的非奇异阵 A 称为正交阵：
对于正交阵，有
例如，矩阵
，
互为逆矩阵，因为
。考虑到
，故它们又是互为正交阵。一些有用的公式
矩阵与单位阵的运算：
矩阵的转置运算：
矩阵的可逆运算：
矩阵的转置与可逆运算：
1.1.2 矩阵的导数
(1)矩阵对时间的导数
矩阵时间导数的定义，矩阵时间导数的基本运算
矩阵时间导数的定义
(1.1-21)
(1.1-22)
(1.1-23)
矩阵的元素如果为时间t 的函数，记为Aij(t)，该矩阵记为A(t)。它对时间的导数为一同阶矩阵，其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数，即
(1.1-24)
为了书写简洁，标量对时间的导数，用该标量的字母上加一点表示，即上式可简写为
(1.1-24')
(1.1-25)
(1.1-26)
(1.1-27)
(2)矩阵对变量的偏导数
多变量函数关于变量偏导数的矩阵表达。
元素为多变量函数的列阵关于变量偏导数的矩阵表达。
元素为多变量函数的列阵关于变量偏导数的矩阵表达
令m 阶列阵?，其元素?i (i=1,…,m)为变量阵q的函数，即有
列阵?对变量阵q的偏导数记为该偏导数
为 m×n 阶矩阵，且：
，或简写为
。用 i 表示行下标，用 j 表示列下标，定义
(1.1-30)
1.2 矢量
1.2.1 矢量、矢量基与基矢量
(1)几何矢量定义
矢量 是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模，记为为单位矢量。模为0的矢量称为零矢量，记为。
，或简写为a。模为 1的矢量称
矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述，线段的长度表示它的模，箭头在某一空间的指向为它的方向。利用这种方式描述的矢量又称为几何矢量。 (2) 几何矢量的运算 矢量的和(平行四边形法则)
(a)
图1-1 几何矢量运算
(b)
两矢量 与 的和为一个矢量，记为 ，即
(1.2-3)
机器人数学基础
