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机器人数学基础

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数学基础

许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算。矢量的代数描述及其运算将利用矩阵这个工具。在许多科技著作中并不区分矢量与矩阵的概念。然而,在理论力学中这两种数学量必须加以区分。为此本章简要介绍本课程将要涉及到的有关内容,涉及 (1)几何矢量及其导数,相应的运算;

(2)矢量及其导数代数描述,它们的矩阵表达,相应的运算。 本章内容及学习要求:

要求 必修 矩阵导数的定义及其计算 必修 矢量基的运算 算与坐标阵运算的关系,矢量与矢径的关系 其计算,几何矢量导数运算与坐标阵及其导数运算的关系 方向余弦阵的基本概念, 方向余弦阵的性质 修 修 修 必修 平面矢量及其代数描述,平面矢量的运算与坐标阵运算间的关必系,平面问题的方向余弦阵的性质及其运算 修 节 小节 知识点 矩阵的基本概念,矩阵的运算 1.1矩阵 1.1.1矩阵的定义与运算 1.1.2矩阵的导数 1.2矢量 基与基矢量 1.2.2矢量的代数描述 1.2.3矢量的导数 1.3方向余弦阵 1.4平面矢量 1.2.1矢量,矢量几何矢量的概念与运算,矢量基的概念及其矢量列阵的描述,必矢量(矢径)的分量,坐标阵与坐标方阵的概念,几何矢量的运必矢量对时间的导数的定义,矢量在某基上对时间导数的定义及必

1.1 矩阵

1.1.1 矩阵的定义与运算

(1)矩阵的基本概念

矩阵(列阵)的定义, 矩阵的转置,矩阵用列阵分块表示。 方阵,单位阵,对称阵与反对称阵。

如果对于 n 阶方阵A ,其元素满足 Aij=Aji (i, j = 1, ? , n),即有 则称方阵A为对称阵。

如果 Aij=-Aji (i, j = 1, …, n),即有

(1.1-4)

则称方阵A为反对称阵。显然,对于反对称阵,有

(i=1, …, n)

(1.1-5)

例如,在如下的方阵中

,,

方阵A与C为对称阵,B为反对称阵。此外,C也为三阶单位阵,可表为I3。 (2)矩阵的基本运算

两矩阵相等,矩阵与矩阵的相加(减),标量与矩阵的乘积;矩阵与矩阵的乘积。 (3)矩阵运算的性质 矩阵运算的结合律与交换律 (4)矩阵的可逆运算

满秩方阵(非奇异阵)与逆矩阵,正交阵,一些有用的公式

满秩方阵(非奇异阵)与逆矩阵

对于方阵A,如果存在一个同阶的方阵B,两方阵的积为单位阵,即有

则称方阵A为满秩方阵或非奇异阵。 方阵B为方阵A的逆矩阵,记为 A-1 。即有

(1.1-19)

可以证明以下等式成立

(1.1-20)

正交阵

满足如下等式的非奇异阵 A 称为正交阵:

对于正交阵,有

例如,矩阵

互为逆矩阵,因为

。考虑到

,故它们又是互为正交阵。一些有用的公式

矩阵与单位阵的运算:

矩阵的转置运算:

矩阵的可逆运算:

矩阵的转置与可逆运算:

1.1.2 矩阵的导数

(1)矩阵对时间的导数

矩阵时间导数的定义,矩阵时间导数的基本运算

矩阵时间导数的定义

(1.1-21)

(1.1-22)

(1.1-23)

矩阵的元素如果为时间t 的函数,记为Aij(t),该矩阵记为A(t)。它对时间的导数为一同阶矩阵,其各元素为原矩阵的元素Aij(t)对时间的导数,即

(1.1-24)

为了书写简洁,标量对时间的导数,用该标量的字母上加一点表示,即上式可简写为

(1.1-24')

(1.1-25)

(1.1-26)

(1.1-27)

(2)矩阵对变量的偏导数

多变量函数关于变量偏导数的矩阵表达。

元素为多变量函数的列阵关于变量偏导数的矩阵表达。

元素为多变量函数的列阵关于变量偏导数的矩阵表达

令m 阶列阵?,其元素?i (i=1,…,m)为变量阵q的函数,即有

列阵?对变量阵q的偏导数记为该偏导数

为 m×n 阶矩阵,且:

,或简写为

。用 i 表示行下标,用 j 表示列下标,定义

(1.1-30)

1.2 矢量

1.2.1 矢量、矢量基与基矢量

(1)几何矢量定义

矢量 是一个具有方向与大小的量。它的大小称为模,记为为单位矢量。模为0的矢量称为零矢量,记为。

,或简写为a。模为 1的矢量称

矢量在几何上可用一个带箭头的线段来描述,线段的长度表示它的模,箭头在某一空间的指向为它的方向。利用这种方式描述的矢量又称为几何矢量。 (2) 几何矢量的运算 矢量的和(平行四边形法则)

(a)

图1-1 几何矢量运算

(b)

两矢量 与 的和为一个矢量,记为 ,即

(1.2-3)

机器人数学基础

数学基础许多概念与表达式涉及到几何矢量及其运算。矢量的代数描述及其运算将利用矩阵这个工具。在许多科技著作中并不区分矢量与矩阵的概念。然而,在理论力学中这两种数学量必须加以区分。为此本章简要介绍本课程将要涉及到的有关内容,涉及(1)几何矢量及其导数,相应的运算;(2)矢量及其导数代数描述,它们的矩阵表达,相应的运算。本章内容及学习要求:要求
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