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2019年考研数学一真题解析
一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．
1．当x?0时，若x?tanx与xk是同阶无穷小，则k?（ ）
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
【答案】（C）
【详解】当x?0时，tanx?x?131x?o(x3)，所以x?tanx??x3?o(x3)，所以k?3． 33??xx,x?02．设函数f(x)??，则x?0是f(x)的（ ）
xlnx,x?0??（A）可导点，极值点 （B）不可导的点，极值点 （C）可导点，非极值点 （D）不可导点，非极值点
【答案】（B）
【详解】（1）f(0?0)?limxlnx?lim??x?0x?0?ln1x1x?0,f(0?0)?limxx?0,f(0)?0，所以函数在x?0?x?0处连续；（2）f??(0)?lim?xlnx（3）当x?0时，???，所以函数在x?0处不可导；
x?0x1f(x)??x2,f?(x)??2x?0，函数单调递增；当0?x?时，f?(x)?1?lnx?0，函数单调减少，所
e以函数在x?0取得极大值．
3．设{un}是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是（ ）
????un?unn122（A）? （B）?(?1) (C）??1?? （D）?(un?1?un)
unun?1?n?1n?1nn?1n?1??【答案】（D）
【详解】设{un}是单调增加的有界数列，由单调有界定理知limun存在，记为limun?u；又设?n，满足
n??n??2222un?M，则un?1?un?(un?1?un)(un?1?un)?2M(un?1?un)，且un?1?un?0，则对于正项对于级数
?(un?1?2n?12?un)，前n项和：
可编辑
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Sn??(uk?1n2k?1?u)?2M?(uk?1?uk)?2M(un?1?u1)?2Mun?1?2Mu
2kk?1n也就是
?(un?1?2n?12?un)收敛．
4．设函数Q(x,y)?x，如果对于上半平面(y?0)内任意有向光滑封闭曲线C都有 y2??P(x,y)dx?Q(x,y)dy?0
C那么函数P(x,y)可取为（ ）
x21x2111（A）y?2 （B）?2 （C）? （D）x?
yyyyxy【答案】（D）
【详解】显然，由积分与路径无关条件知
?P?Q11??2，也就是P(x,y)???C(x)，其中C(x)是在?y?xyy(??,??)上处处可导的函数．只有（D）满足．
5．设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A?A?2E，且A?4，则二次型xTAx的规范形
2是 （ ）
222222222222（A）y1?y2?y3 （B）y1?y2?y3 （C）y1?y2?y3 （D）?y1?y2?y3
【答案】（C）
【详解】假设?是矩阵A的特征值，由条件A?A?2E可得?2???2?0，也就是矩阵A特征值只可
2能是1和?2．而A??1?2?3?4，所以三个特征值只能是?1?1,?2??3??2，根据惯性定理，二次型的
222规范型为y1?y2?y3．
6．如图所示，有三张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
ai1x?ai2y?ai3z?di(i?1,2,3)组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A,A，则（ ）
（A）r(A)?2,r(A)?3 （B）r(A)?2,r(A)?2 （C）r(A)?1,r(A)?2 （D）r(A)?1,r(A)?1
可编辑
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【答案】（A）
【详解】(1)显然三个平面没有共同交点，也就是非齐次方程组无解，从而r(A)?r(A)； （2）从图上可看任何两个平面都不平行，所以r(A)?2；
7． 设A,B为随机事件，则P(A)?P(B)的充分必要条件是 （ ）
（A）P(AUB)?P(A)?P(B) （B） P(AB)?P(A)P(B) （C）P(AB)?P(BA) （D）P(AB)?P(AB)
【答案】（C）
【详解】选项（A）是A,B互不相容；选项（B）是A,B独立，都不能得到P(A)?P(B)； 对于选项（C），显然，由P(AB)?P(A)?P(AB),P(BA)?P(B)?P(AB)，
P(AB)?P(BA)?P(A)?P(AB)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(B)
8．设随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(?,?)．则P{X?Y?1}（ ）
2（A）与?无关，而与?2有关 （B）与?有关，而与?2无关 （C）与?，?2都有关 （D）与?，?2都无关
【答案】（A）
【详解】由于随机变量X与Y相互独立，且均服从正态分布N(?,?)，则X?Y~N(0,2?)，从而
22P{X?Y?1}?P{?1?X?Y?1}?P{只与?2有关．
?1X?Y1?1???}?2????1 2?2?2??2??二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上） 9．设函数f(u)可导，z?f(siny?sinx)?xy，则
1?z1?z???? ． cosx?xcosy?y【答案】
yx? cosxcosy解：
?z?z??cosx?f?(siny?sinx)?y,?cosy?f?(siny?sinx)?x ?x?y可编辑
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1?z1?zyx????? cosx?xcosy?ycosxcosy10．微分方程2yy??y?2?0满足条件y(0)?1的特解为y? ． 【答案】y?3ex?2 2【详解】把方程变形2yy??y?2?0得(y)??(y)?2?0，即
222d(y2?2)?dx?y2?2?Cex?y?Cex?2
2y?2由初始条件y(0)?1确定C?3，所以y?3ex?2．
(?1)nnx在(0,??)内的和函数S(x)? . 11.幂级数?(2n)!n?1???(?1)nn(?1)nn(?1)nnx还是?x，我以?x给出解答． 看不清楚题目是?n?1(2n)!n?0(2n)!n?1(2n)!?【答案】cosx?1
(?1)n2nx,x?(??,??)，从而有： 【详解】注意cosx??n?0(2n)!??(?1)nn?(?1)n(?1)nnx??(x)??(x)n?1?cosx?1,x?(0,??) ?n?1(2n)!n?1(2n)!n?0(2n)!?12．设?为曲面x?y?4z?4(z?0)的上侧，则
222???4?x2?4z2dxdy? ．
【答案】
32. 322【详解】显然曲面?在xOy平面的投影区域为Dxy?{(x,y)|x?y?4}
???4?x?4zdxdy???ydxdy??22x?y2?42??ydxdy?2?d??r2sin?dr?00?232 313．设A?(?1,?2,?3)为三阶矩阵，若?1,?2线性无关，且?3???1?2?2，则线性方程组Ax?0的通解为 ．
??1???【答案】x?k?2?，其中k为任意常数．
??1???可编辑
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【详解】显然矩阵A的秩r(A)?2，从而齐次线性方程组Ax?0的基础解系中只含有一个解向量．由
??1???1????2x?k?3???1?2?2可知??1?2?2??3?0也就是x??为方程组基础解系，通解为???2?，其中k??1???1?????为任意常数．
?x?,0?x?214．设随机变量X的概率密度为f(x)??2，F(x)为其分布函数，E(X)其数学期望，则
??0,其他P{F(X)?E(X)?1}? ．
【答案】.
23?0,x?02?12x4?2dx?． 【详解】F(x)?P{X?x}??x,0?x?2，E(X)??023?4x?2??1,212x2P{F(X)?E(X)?1}?P{F(X)?}?P{X?}?1??3dx?
03233三、解答题
15．（本题满分10分）
设函数y(x)是微分方程y??xy?e?x22满足条件y(0)?0的特解．
（1）求y(x)；（2）求曲线y?y(x)的凸凹区间及拐点． 【详解】（1）这是一个一阶线性非齐次微分方程． 先求解对应的线性齐次方程y??xy?0的通解：y?Ce再用常数变易法求y??xy?e?x22?x22，其中C为任意常数；
?x22通解，设y?C(x)e?x22为其解，代入方程，得C?(x)ex22?e?x22,C?(x)?1，
C(x)??1dx?x?C1，也就是通解为：y?(x?C1)e?
?x22把初始条件y(0)?0代入，得C1?0，从而得到y(x)?xe（2）y(x)?xe?x22.
?x22,y?(x)?e?x22(1?x2),y??(x)?(x3?3x)e可编辑
?x(x?3)(x?3)e?x22
2019年考研数学一真题与解析
