2024年TI杯全国初中数学竞赛试卷及答案（三）
一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填得零分）
1. 已知实数a?b，且满足(a?1)2?3?3(a?1)，3(b?1)?3?(b?1)2.则
bba?a的值为（ ）. ab（A）23 （B）?23 （C）?2 （D）
?13
答：选（B）
∵ a、b是关于x的方程
?x?1?2?3(x?1)?3?0
的两个根，整理此方程，得
x2?5x?1?0，
∵ ??25?4?0， ∴ a?b??5，ab?1. 故a、b均为负数. 因此
babaa2?b2b?a??ab?ab??ababab2?a?b??2abab????23.
ab2. 若直角三角形的两条直角边长为a、b，斜边长为c，斜边上的高为h，则有 （ ）.
（A）ab?h2 （B）?? （C）
a2?b2?2h2
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1a1b1h111 （D）??a2b2h2答：选（C）
∵ a?h?0，b?h?0，
∴ ab?h2，a2?b2?h2?h2?2h2； 因此，结论（A）、（D）显然不正确.
设斜边为c，则有a?b?c，(a?b)h?ch?ab，即有
1122111??， abh12因此，结论（B）也不正确. 由
11111a2?b2h?ab化简整理后，得2?2?2， 22abh因此结论（C）是正确的.
3．一条抛物线y?ax2?bx?c的顶点为（4，?11），且与x轴的两个交
点的横坐标为一正一负，则a、b、c中为正数的（ ）. （A）只有a （B）只有b （C）只有c （D）只有a和b
答：选（A）
由顶点为（4，?11），抛物线交x轴于两点，知a>0. 设抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1，x2，即为方程
ax2?bx?c?0
的两个根.
由题设x1x2?0，知?0，所以c?0. 根据对称轴x=4，即有?b?0，知b<0. 2aca故知结论（A）是正确的.
4．如图所示，在△ABC中，DE∥AB∥FG，且FG
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到DE、AB的距离之比为1:2. 若△ABC的面积为32，△CDE的面积为（ ）.
（A）6 （B）8 （C）10 （D）12 答：选（B）
（第4题图） 2，则△CFG的面积S等于
由DE∥AB∥FG知，△CDE∽△CAB，△CDE∽△CFG，所以
CD?CAS?CDE21??， S?CAB324又由题设知
FD1?，所以 FA2FD1?， AD31131FD?AD??AC?AC，
3344故FD?DC，于是
S?CDE?1?1????，S?CFG?8. S?CFG?2?42因此，结论（B）是正确的. 5．如果x和y是非零实数，使得
x?y?3和xy?x3?0，
那么x+y等于（ ）. （A）3 （B）13 （C）
4?13
1?13 （D）2答：选（D）
将y?3?x代入xy?x3?0，得x3?x2?3x?0.
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（1）当x>0时，x3?x2?3x?0，方程x2?x?3?0无实根； （2）当x<0时，x3?x2?3x?0，得方程x2?x?3?0 解得x?1?131?13，正根舍去，从而x?. 221?137?13?. 22于是y?3?x?3?故x?y?4?13.
因此，结论（D）是在正确的.
二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分）
6． 如图所示，在△ABC中，AB=AC，AD=AE，
?BAD?60?，则?EDC? （度）.
答：30°
解：设?CAD?2?，由AB=AC知
?B?1(180??60??2?)?60???， 2（第6题图） ?ADB?180???B?60??60???，
由AD=AE知，?ADE?90???， 所以?EDC?180???ADE??ADB?30?.
7．据有关资料统计，两个城市之间每天的电话通话次数T与这两个城市的人口数m、n（单位：万人）以及两城市间的距离d（单位：km）有T?kmn的关系(k为常数) . 现测得A、B、C三个城市的人口2d及它们之间的距离如图所示，且已知A、B两个城市间每天的电话通
话次数为t，那么B、C两个城市间每天的电话通话次数为
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次（用t表示）. 答：
解：据题意，有t?∴k?32t. 5 （第7题图） t250?80k， 2160因此，B、C两个城市间每天的电话通话次数为
TBC?k?80?10032t5t. ???564232028．已知实数a、b、x、y满足a?b?x?y?2，ax?by?5，则
(a2?b2)xy?ab(x2?y2)? .
答：?5
解：由a?b?x?y?2，得(a?b)(x?y)?ax?by?ay?bx?4， ∵ ax?by?5， ∴ ay?bx??1.
因而，(a2?b2)xy?ab(x2?y2)?(ay?bx)(ax?by)??5. 9． 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC (BC>AD)，BC=CD=12, ?ABE?45?，?D?90?，若AE=10，则CE的长为 . 答：4或6
解：延长DA至M，使BM⊥BE. 过B作BG⊥AM，G为垂足.易知四边形BCDG为正方形， 所
（第9题图） 以BC=BG. 又?CBE??GBM， ∴ Rt△BEC≌Rt△BMG.
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