解：不一定，例如，当k＝0时，函数y?x2?x的图象与x轴的交点为（0，0）和 （1，0），不都在直线x?1的右侧． ??????5分
设函数y?x2?(2k?1)x?k2的图象与x轴的两交点的横坐标为x1,x2，则
x1?x2??(2k?1),x1x2?k2，
??≥0,?当且仅当满足如下条件 ?(x1?1)?(x2?1)?0, ??????10分
?(x?1)(x?1)?0?12时，抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧．
?(2k?1)2?4k2≥0,?由 ??2k?1?0, 解之，得
?k2?2k?0,?1?k≤,?4?1?k??, ??????15分 ?2??k??2或k?0.??所以当k??2时，抛物线与x轴的两交点都在直线x?1的右侧． ??????20分 （12）如图，给定锐角三角形ABC，BC?CA，AD，BE是它的两条高，过点C作△ABC的外接圆的切线l，过点D，E分别作l的垂线，垂足分别为F，G．试比较线段DF和EG的大小，并证明你的结论．
解法1：结论是DF?EG．下面给出证明． ??????5分 因为?FCD??EAB， 所以Rt△FCD ∽ Rt△EAB． 于是可得 DF?BE?CD． ABCE同理可得 EG?AD?． ??????10分
AB初中数学竞赛复赛试题答案第6页（共8页）
（第12 题）
ADBE?， CDCE所以有BE?CD?AD?CE，
又因为tan?ACB?于是可得 DF?EG． ??????20分
解法2：结论是DF?EG．下面给出证明．??? 5分 连接DE，因为?ADB??AEB?90?， 所以A，B，D，E四点共圆，故
?CED??ABC． ??????10分
又l是⊙O的过点C的切线，
所以?ACG??ABC． ??????15分 所以，?CED??ACG，
于是DE∥FG，故DF＝EG． ??????20分
（13）在平面直角坐标系xOy中，我们把横坐标为整数、纵坐标为完全平方数的点称为“好点”，求二次函数y?(x?90)2?4907的图象上所有“好点”的坐标．
解：设y?m,(x?90)?k，m，k都是非负整数，则
222（第12 题） k2?m2?7?701?1?4907，
1?1即 (k?m)(k?m)?7?70?则有 ?49． ?????10分
?k?m?701,?k?m?7;?k?m?4907, ??k?m?1.?k2?2454, ?m?2453.?2?k1?354,解得 ??m1?347;所以
?x1?444,?x2??264,?x3?2544,?x4??2364, ?????y1?120409;?y2?120409;?y3?6017209;?y4?6017209.故“好点”共有4个，它们的坐标是：
（444，120409），（?264，120409），（2544，6017209），（?2364，6017209）. ??????20分
初中数学竞赛复赛试题答案第7页（共8页）
（14）有n个正整数a1，a2，?，an满足如下条件：1?a1?a2???an?2009； 且a1，a2，?，an中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．
解：设a1，a2，?，an中去掉ai后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数bi，
i?1，2，?，n．即 bi?(a1?a2???an)?ai．
n?1于是，对于任意的1≤i?j≤n，都有
bi?bj?aj?ain?1，
从而 n?1(aj?ai)． ??????5分
由于 b1?bn?an?a12008?是正整数，故 n?1n?13 n?12?251． ??????10分
由于 an?1??an?an?1???an?1?an?2?????a2?a1? ≥?n?1???n?1?????n?1??(n?1)，
2所以，(n?1)≤2008，于是n ≤45.
3 结合n?12?251，所以，n ≤9． ??????15分
2另一方面，令a1?8?0?1,a2?8?1?1,a3?8?2?1，?，a8?8?7?1，
a9?8?251?1，则这9个数满足题设要求．
综上所述，n的最大值为9. ??????20分
初中数学竞赛复赛试题答案第8页（共8页）
2009年全国初中数学竞赛题及答案
