“《数学周报》杯”2009年全国初中数学竞赛
（天津赛区）试题参考答案及评分标准
一、选择题（共5小题，每小题7分，满分35分. 以下每道小题均给出了代号为A，B，C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填都得0分）
（1）已知非零实数a，b 满足 2a?4?b?2?(a?3)b?4?2a，则a?b等于（ ）．
（A）－1 （B）0 （C）1 （D）2 【答】C．
解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为b?2?(a?3)b?0，于是
22a?3，b??2，从而a?b＝1．
（2）如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上 的一点，且OA＝a，OB＝OC＝OD＝1，则a等于（ ）．
（A）5?15?1 （B） 22（第2题） （C）1 （D）2 【答】A．
解：因为△BOC ∽ △ABC，所以
BOBC1a?，即?， ABACaa?12所以，a?a?1?0．由a?0，解得a?1?5． 2（3）将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先后投掷两次，记第一次掷出的点数为a，第二次掷出的点数为b，则使关于x，y的方程组
?ax?by?3， 只有正数解的概率为（ ）． ??x?2y?2 （A）
12513 （B） （C） （D） 1291836初中数学竞赛复赛试题答案第1页（共8页）
【答】D．
解：当2a?b?0时，a为正整数，方程组无解．
6?2b?x?,??2a?b当2a?b?0时，方程组的解为?
2a?3?y?.?2a?b??2a?b?0,?2a?b?0,?6?2b?0,???33?2a?b??由已知，得?即?a?,或?a?,
2a?322???0,?????2a?b?b?3,?b?3.由a，b的实际意义为1，2，3，4，5，6，可得
3，4，5，6，?a?2，?a?1，共有 5×2＝10种情况；或共3种情况． ??2，5，6，?b?1，?b?4，又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况，故所求的概率为
13． 36（4）如图1所示，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，?B?90?．动点P从点B出发， 沿梯形的边由B→C→D→A运动. 设点P运动的路程为x，△ABP的面积为y．把y看作x的函数，函数的图象如图2所示，则△ABC的面积为（ ）．
（A）10 （B）16 （C）18 （D）32
图1
【答】B．
（第4题） 图2 解：根据图象可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故
S△ABC＝
1×8×4＝16. 222（5）关于x，y的方程x?xy?2y?29的整数解（x，y）的组数为（ ）． （A）2组 （B）3组 （C）4组 （D）无穷多组 【答】C．
初中数学竞赛复赛试题答案第2页（共8页）
解：可将原方程视为关于x的二次方程，将其变形为 x2?yx?(2y2?29)?0．
由于该方程有整数根，则判别式?≥0，且是完全平方数． 由 ??y2?4(2y2?29)??7y2?116≥0， 解得 y2≤
116?16.57．于是 70 116 1 109 4 88 9 53 16 4 y2 ? 显然，只有y2?16时，??4是完全平方数，符合要求． 当y?4时，原方程为x?4x?3?0，此时x1??1,x2??3； 当y＝－4时，原方程为x?4x?3?0，此时x3?1,x4?3． 所以，原方程的整数解为
22?x1??1, ?y?4;?1?x2??3, ?y?4;?2?x3?1, ?y??4;?3?x4?3, ?y??4.?4二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
（6）一个自行车的新轮胎，若把它安装在前轮，则自行车行驶5000 km后报废；若把它安装在后轮，则自行车行驶3000 km后报废，行驶一定路程后可以交换前、后轮胎． 如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这辆车将能行驶 km ．
【答】3750．
解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k,则安装在前轮的轮胎每行驶1 km磨损量为
kk,安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为.又设一对新轮胎交换位置前50003000走了x km，交换位置后走了y km.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列方程,有
ky?kx??k,??50003000 ?kykx???k,??50003000初中数学竞赛复赛试题答案第3页（共8页）
k(x?y)k(x?y)??2k，
500030002则 x?y??3750．
11?50003000两式相加，得
（7）已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆，在线段AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心，DA的长为半径作圆，与⊙A分别相交
AH于F，G两点，连接FG交AB于点H，则的值为 ．
AB解：如图，延长AD与⊙D交于点E，连接AF，EF ． 由题设知AC?11AD，有AB?AE，在△FHA和△EFA中， 33?EFA??FHA?90?，?FAH??EAF．
所以 Rt△FHA∽Rt△EFA，
AHAF?. AFAE
而AF?AB，所以
AH1?. AB3（第7题） （8）已知a1，a2，a3，a4，a5是满足条件a1?a2?a3?a4?a5?9的五个互不相同的整数，若b是关于x的方程?x?a1??x?a2??x?a3??x?a4??x?a5??2009的整数根，则b的值为 ． 【答】 10．
解：因为?b?a1??b?a2??b?a3??b?a4??b?a5??2009，且a1，a2，a3，a4，a5是五个不同的整数，所以b?a1，b?a2，b?a3，b?a4，b?a5也是五个不同的整数．
又因为2009?1???1??7???7??41，所以
b?a1?b?a2?b?a3?b?a4?b?a5?41．
由a1?a2?a3?a4?a5?9，可得b?10．
初中数学竞赛复赛试题答案第4页（共8页）
（9）如图，在△ABC中，CD是高，CE为?ACB的平分线．若AC＝15，BC＝20，CD＝12，则CE的长等于 ．
【答】
602． 7解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25 ． 故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且?ACB?90?． 作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由?ECF?BF＝20－x．由于EF∥AC，所以
1?ACB?45?，得CF＝x，于是2EFBF?， ACBCx20?x?即 ， 1520
60602解得x?．所以CE?2x?．
77（10）10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是 ． 【答】?2．
（第9题） （第10题） 解：设报3的人心里想的数是x，则报5的人心里想的数应是8?x．
于是报7的人心里想的数是 12?(8?x)?4?x，报9的人心里想的数是
16?(4?x)?12?x，报1的人心里想的数是 20?(12?x)?8?x，报3的人心里想的
数是4?(8?x)??4?x．所以 x??4?x，解得x??2．
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（11）函数y?x?(2k?1)x?k的图象与x轴的两个交点是否都在直线x?1的右侧？若是，请说明理由；若不一定是，请求出两个交点都在直线x?1的右侧时k的取值范围．
初中数学竞赛复赛试题答案第5页（共8页）
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2009年全国初中数学竞赛题及答案
