故选：B．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，则实数m的取值范围是 【分析】利用一元二次不等式的图象即可求解．
解：由于对任意x∈R，都有x2+x+m＞0，即函数f（x）＝x2+x+m的图象在x轴上方，与
．
x无交点；即△＝1﹣4m＜0；
∴m；
．
故答案为：
14．如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为60°和30°，如果这时气球的高是30米，则河流的宽度BC为 20
米．
【分析】由题意画出图形，利用特殊角的三角函数，可得答案． 解：由题意可知∠C＝30°，∠BAC＝30°，∠DAB＝30°，AD＝30m， ∴BC＝AB＝故答案为：20
．
＝20
．
15．已知点A（1，0），M，N分别是x轴、y轴上的动点，且满足
＝2
，则点P的轨迹方程是 y＝﹣x ．
＝2
2
?＝0．若点P满足
【分析】先求出M、N两点横纵坐标之间的关系，再利用方程．
解：设M（m，0），N（0，n）， 因为
?
，则可求出点P的轨迹
＝0，所以（﹣1，n）（﹣m，n）＝m+n2＝0，
设点P（x，y），
因为＝2，所以（x﹣m，y）＝2（x，y﹣n），
即有x＝m，y＝n， 代入得x+y2＝0， 即y＝﹣x．
故点P的轨迹方程为y＝﹣x． 故答案为：y＝﹣x．
16．记Sn为数列{an}的前n项和，若a1＝3，a2n＝2n﹣1+an，a2n+1＝2n﹣an，则S12等于 131 ． 【分析】由已知递推式求得数列的前6项，可得a12，再由条件可得a2n+a2n+1＝3?2n﹣1，计算可得所求和．
解：a1＝3，a2n＝2n﹣1+an，a2n+1＝2n﹣an，
可得a2＝4，a3＝﹣1，a4＝6，a5＝0，a6＝3，a12＝32+3＝35， 可得a2n+a2n+1＝3?2
n﹣1
2
2
2
，
则S12＝a1+（a2+a3）+（a4+a5）+…+（a10+a11）+a12＝3+3（1+2+4+8+16）+35＝131． 故答案为：131．
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，（1）求角B的大小；
（2）AD是BC边上的中线，若AD⊥AB，AB＝2，求AC的长． 【分析】（1）由已知结合正弦定理可求tanB，进而可求B， （2）Rt△ABD中，可知AB＝2，B＝余弦定理可求． 解：（1）∵∴
，进而可求∠ADB，AD，BD，在△ADC中，结合
acosB＝bsinA．
acosB＝bsinA，
sinAcosB＝sinAsinB，
∵sinA≠0， ∴
cosB＝sinB，即tanB＝
，
∵B∈（0，π）， ∴B＝
，
（2）∵AD是BC边上的中线，且AD⊥AB，
∴Rt△ABD中，AB＝2，B＝∴∠ADB＝
，AD＝2
，
，BD＝4，
， ．
∴△ADC中，AD＝2∴AC＝
，CD＝4，∠ADC＝
＝2
18．记Sn为等比数列{an}的前n项和，a1+a3＝10，S4＝30． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若an＝
，求数列{bn}的前n项和Tn．
【分析】（1）等比数列{an}的公比设为q，运用等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；
（2）求得bn＝n?（）n，数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．
解：（1）等比数列{an}的公比设为q，a1+a3＝10，S4＝30， 可得a1+a1q＝10，a1+a1q+a1q+a1q＝30， 解得a1＝q＝2， 则an＝2； （2）由an＝
nn2
2
3
，可得2＝2
n，
即bn＝n?（）， 前n项和Tn＝1?
+2?+3?
+3?
+…+n?（）n，
n+1
Tn＝1?+2?+…+n?（），
相减可得Tn＝+++…+（）n﹣n?（）n+1
＝
﹣n?（）n+1，
化简可得Tn＝2﹣（n+2）?（）n．
19．如图，四边形ABEF是矩形，AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3． （1）证明：AF⊥平面ABCD；
（2）求二面角A﹣DF﹣C的余弦值．
【分析】（1）连接AC，通过计算AC2+AF2＝FC2，推出AF⊥AC，结合四边形ABEF是矩形，得到AF⊥AB，然后证明AF⊥平面ABCD；
（2）以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面ADF的一个法向量，平面DFC的法向量，利用空间向量的数量积求解二面角的余弦函数值即可． 【解答】（1）证明：连接AC，因为AD∥BC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AD＝AF＝1，CF＝3． 所以AC＝
＝2
，
满足AC2+AF2＝FC2，所以AF⊥AC，四边形ABEF是矩形，所以AF⊥AB，AB∩AC＝A， 所以AF⊥平面ABCD；
（2）解：以AD，AB，AF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则A（0，0，0），D（1，0，0），F（0，0，1），C（2，2，0），可知平面ADF的一个法向量为＝（0，1，0），
设平面DFC的法向量为＝（x，y，z）， ＝（﹣1，0，1），所以
＝（1，2，0），
，取x＝2，则y＝﹣1，z＝2，所以＝（2，﹣1，2）．
二面角A﹣DF﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝＝﹣．
20．设O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（a，4）在C上，|MF|＝4．
（1）求C的方程；
（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，若l与圆H：（x﹣1）+y＝相切，求△AOB的面积．
【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义和点满足抛物线方程，解得p，可得抛物线方程；
（2）求得F的坐标，设直线l的方程y＝k（x﹣2），求得圆H的圆心和半径，运用直线和圆相切的条件：d＝r，解方程可得斜率k，联立抛物线方程，运用韦达定理和弦长公式可得|AB|，结合点到直线的距离公式，由三角形的面积公式计算可得所求值． 解：（1）抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线方程为x＝﹣， 点M（a，4）在C上，|MF|＝4，可得a+＝4，2pa＝16， 解得p＝4，则C的方程为y＝8x；
（2）由（1）可得F（2，0），设直线l的方程为y＝k（x﹣2）， 圆H：（x﹣1）2+y2＝的圆心H（1，0），半径为，
2
22
l与圆H：（x﹣1）2+y2＝相切，可得＝，
解得k＝±，
（x﹣2），
则直线l的方程为y＝±
联立抛物线方程y2＝8x；可得x2﹣28x+4＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝28， 可得|AB|＝x1+x2+4＝28+4＝32，
又O到直线AB的距离为d＝＝1，
则△ABO的面积为×1×32＝16．
21．某公司计划在办公大厅建一面长为a米的玻璃幕墙，先等距安装x根立柱，然后在相邻的立柱之间安装一块与立柱等高的同种规格的玻璃．一根立柱的造价为6400元，一块长为m米的玻璃造价为（50m+100m2）元，假设所有立柱的粗细都忽略不计，且不考虑其他因素，记总造价为y元（总造价＝立柱造价+玻璃造价）． （1）求y关于x的函数关系式；
人教A版2018-2019学年福建省厦门市高二(上)期末数学试卷(理科) 解析版
