课时跟踪检测 (三十五) 基本不等式
一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．“a＞b＞0”是“ab＜
a2＋b2
2
”的( )
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
A．充分不必要条件 C．充要条件
2
2
解析：选A 由a＞b＞0得，a＋b＞2ab；但由a＋b＞2ab不能得到a＞b＞0，故“a＞b＞0”是“ab＜
22
a2＋b2
2
”的充分不必要条件，故选A． 2x的最大值为( ) x＋1
2
2．当x＞0时，f(x)＝1A． 2C．2
B．1 D．4
2x22
＝≤＝1， x＋112
x＋2
解析：选B ∵x＞0，∴f(x)＝x1
当且仅当x＝，即x＝1时取等号．
x?b??4a?3．(2017·合肥调研)若a，b都是正数，则?1＋??1＋?的最小值为( )
?
a??
b?
A．7 C．9
B．8 D．10
b4a?b??4a?解析：选C 因为a，b都是正数，所以?1＋??1＋?＝5＋＋≥5＋2 ab????
abb4a·＝9，ab当且仅当b＝2a时取等号，选项C正确．
4．当3＜x＜12时，函数y＝解析：y＝
x－
x2
－x的最大值为________．
x－
x－x－x＋15x－36＝ x?36?＝－?x＋?＋15≤－2 ?
x?
xx·＋15＝3． x36
36
当且仅当x＝，即x＝6时，ymax＝3． 答案：3
5．若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________ m． 解析：设一边长为x m，则另一边长可表示为(10－x)m，
1
2
由题知0＜x＜10，则面积S＝x(10－x)≤?＝5时等号成立，
?x＋10－x?2＝25，当且仅当x＝10－x，即x?2??
2
故当矩形的长与宽相等，都为5 m时面积取到最大值25 m． 答案：25
二保高考，全练题型做到高考达标 1．下列不等式一定成立的是( )
?21?A．lg?x＋?＞lg x(x＞0)
4??
B．sin x＋
2
1
≥2(x≠kπ，k∈Z) sin xC．x＋1≥2|x|(x∈R) D．
1
＞1(x∈R) x＋1
2
111?21?解析：选C lg?x＋?＞lg x?x2＋＞x(x＞0)?4x2－4x＋1＞0(x＞0)．当x＝时，4×24?422?112
－4×＋1＝0，∴A错；当sin x＝－1时，sin x＋＝－2＜2，∴B错；x＋1≥2|x|
2sin x?(|x|－1)≥0，∴C正确；当x＝0时，
2
1
＝1，∴D错． x2＋1
11
2．已知a>0，b>0，a，b的等比中项是1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是( )
abA．3 C．5
B．4 D．6
11
解析：选B 由题意知ab＝1，∴m＝b＋＝2b，n＝a＋＝2a，∴m＋n＝2(a＋b)≥4abab＝4，当且仅当a＝b＝1时取等号．
3．若2＋2＝1，则x＋y的取值范围是( ) A．[0,2] C．[－2，＋∞)
xyxyxyB．[－2,0] D．(－∞，－2]
x＋y解析：选D ∵2＋2≥22·2＝22∴2
x＋y(当且仅当2＝2时等号成立)，∴2
xyx＋y1≤，2
1
≤，得x＋y≤－2． 4
2
2
4．(2017·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax＋by－6＝0(a＞0，b＞0)被圆x＋y－2x－4y＝0截得的弦长为25，则ab的最大值是( )
2
A．9 C．4
9B． 25D． 2
2
2
解析：选B 将圆的一般方程化为标准方程为(x－1)＋(y－2)＝5，圆心坐标为(1,2)，9
半径r＝5，故直线过圆心，即a＋2b＝6，∴a＋2b＝6≥2a·2b，可得ab≤，当且仅当
2
a＝2b＝3时等号成立，即ab的最大值是，故选B．
5．某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费
8用与仓储费用之和最小，每批应生产产品( )
A．60件 C．100件
B．80件 D．120件
92
x800
解析：选B 每批生产x件，则平均每件产品的生产准备费用是元，每件产品的仓
xx800x储费用是元，则＋≥2 8x8
∴每批生产产品80件．
800x800x·＝20，当且仅当＝，即x＝80时“＝”成立，x8x8
6．已知A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝2图象上两个不同的点，若x1＋2x2＝4，则y1
＋y2的最小值为________．
解析：y1＋y2＝2x1＋22x2≥22x1＋2x2＝8(当且仅当x1＝2x2＝2时等号成立)． 答案：8
7．(2016·青岛模拟)已知实数x，y均大于零，且x＋2y＝4，则log2x＋log2y的最大值为________．
解析：因为log2x＋log2y＝log22xy－1≤log2?
2
2
x?x＋2y?2－1＝2－1＝1，
??2?
当且仅当x＝2y＝2，即x＝2，y＝1时等号成立， 所以log2x＋log2y的最大值为1． 答案：1
8．已知实数x，y满足x＋y－xy＝1，则x＋y的最大值为________． 解析：因为x＋y－xy＝1， 所以x＋y＝1＋xy． 所以(x＋y)＝1＋3xy≤1＋3×?
2
2
2
2
2
2
2
?x＋y?2，
??2?
3
即(x＋y)2
≤4，解得－2≤x＋y≤2． 当且仅当x＝y＝1时右边等号成立． 所以x＋y的最大值为2． 答案：2
9．(1)当x<38
2时，求函数y＝x＋2x－3的最大值；
(2)设0 解：(1)y＝183 2(2x－3)＋2x－3＋2 ＝－? ?3－2x?2 ＋8x?3－2??＋32． 当x<3 2时，有3－2x>0， ∴ 3－2x3－2x2＋8 3－2x≥2 2·8 3－2x＝4， 当且仅当3－2x2＝83－2x，即x＝－1 2时取等号． 于是y≤－4＋355 2＝－2，故函数的最大值为－2． (2)∵0 x＋2－x2 ＝2，当且仅当x＝2－x，即x＝1时取等号， ∴当x＝1时，函数y＝x－2x的最大值为2． 10．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： (1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值． 解：(1)由2x＋8y－xy＝0，得82 x＋y＝1， 又x＞0，y＞0， 则1＝8＋2 y≥2 8 xx·2y＝8xy，得xy≥64， 当且仅当x＝16，y＝4时，等号成立． 所以xy的最小值为64． (2)由2x＋8y－xy＝0，得82 x＋y＝1， 4 2x8y?82?则x＋y＝?＋?(x＋y)＝10＋＋ ?xy? yyx≥10＋2 2x8y·＝18． x当且仅当x＝12且y＝6时等号成立， ∴x＋y的最小值为18． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校 192 1．正数a，b满足＋＝1，若不等式a＋b≥－x＋4x＋18－m对任意实数x恒成立， ab则实数m的取值范围是( ) A．[3，＋∞) C．(－∞，6] B．(－∞，3] D．[6，＋∞) 19 解析：选D 因为a＞0，b＞0，＋＝1， abab9a?19?2 所以a＋b＝(a＋b)?＋?＝10＋＋≥10＋29＝16，由题意，得16≥－x＋4x＋18 ?ab? b－m， 即x－4x－2≥－m对任意实数x恒成立，而x－4x－2＝(x－2)－6，所以x－4x－2的最小值为－6， 所以－6≥－m，即m≥6． 2．某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x千件，需另投入成本为C(x)，12 当年产量不足80千件时，C(x)＝x＋10x(万元)．当年产量不小于80千件时，C(x)＝51x310 000＋－1 450(万元)．每件商品售价为0．05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能 2 2 2 2 x全部售完． (1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式． (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ 解：(1)因为每件商品售价为0．05万元， 则x千件商品销售额为0．05×1 000x万元，依题意得： 1212 当0＜x＜80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－x－10x－250＝－x＋40x－250． 3310 000?10 000?． 当x≥80时，L(x)＝(0．05×1 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－?x＋? x? x? 5
2019高考数学大一轮复习第六章不等式推理与证明课时跟踪检测三十五基本不等式练习文
