若这10次的指针所指数字的平均数不小于3.3，且不大于3.5，则所指数字之和应不小于33，且不大于35．而前8次的所指数字之和为28，所以最后两次的所指数字之和应不小于5，且不大于7． 第9次和第10次指针所指数字如下表所示： 第 第 9 次 10 次 2 （2，2） （3，2） （4，2） （5，2） 3 （2，3） （3，3） （4，3） （5，3） 4 （2，4） （3，4） （4，4） （5，4） 5 （2，5） （3，5） （4，5） （5，5） 2 3 4 5 第9次和第10次指针所指数字树状图如下：
一共有16种等可能结果，其中指针所指数字之和不小于5，且不大于7的有9种结果，其概率为：P?9． 16【知识点】统计与概率，平均数，事件发生的可能性，概率的计算 22．（2019山东省潍坊市，22，10分）如图，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接DG，过点A作AH∥DG，交BG于点H，连接HF，AF，其中AF交EC于点M． （1）求证：△AHF为等腰直角三角形． （2）若AB=3，EC=5，求EM的长．
【思路分析】（1）利用“SAS”证明△ABH≌△HGF，即可得到边角关系，从而证明△AHF为等腰直角三角形；（2）计算出DE的长度，利用AD∥EF可得
DMAD3??，从而求得EM． EMEF5【解题过程】（1）证明：∵AD∥CG，AH∥DG ∴四边形ADGH为平行四边形． ∴AD=HG． ∵AD=BC， ∴BC=HG
∴BC+CH=GH+HC 即BH=CG ∴GF=BH
在△ABH和△HGF中
AB=HG ∠B=∠HGF BH=GF ∴△ABH≌△HGF
∴∠BAH=∠GHF AH=HF ∵∠BAH+∠BHA=90° ∴∠AHF=90°
∴△AHF为等腰直角三角形． （2）∵AB=3，EC=5 ∴AD=CD=3，CE=EF=5 ∴DE=2 ∵AD∥EF
DMAD3?? EMEF555∴EM=DE=．
84∴
【知识点】正方形的性质，等腰直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质
23．（2019山东省潍坊市，23，10分）扶贫工作小组对果农进行精准扶贫，帮助果农将一种有机生态水果拓宽了市场，与去年相比，今年这种水果的产量增加了1000千克，每千克的平均批发价比去年降低了1元，批发销售总额比去年增加了20%．
（1）已知去年这种水果批发销售总额为10万元，求这种水果今年每千克的平均批发价是多少元？
（2）某水果店从果农处直接批发，专营这种水果．调查发现，若每千克的平均销售价为41元，则每天可售出300千克，若每千克的平均销售价每降低3元，每天可多卖出180千克．设水果店一天的利润为w元，当每千克的平均销售价为多少元时，该水果店一天的利润最大，最大利润是多少？（利润计算时，其它费用忽略不计．） 【思路分析】 （1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x元，则去年的批发价为（x+1）元，根据“今年比去年这种水果的产量增加了1000千克”列方程求解；（2）设每千克的平均销售价为m元，求出这种水果的销售量，根据“利润=（售价－进价）×销售量”列出函数关系求最值． 【解题过程】（1）设今年这种水果每千克的平均批发价为x元，由题意，得：
100000（1+20%）100000??1000
xx?1解之，得：x1=24，x2=－5（舍去）
答：今年这种水果每千克的平均批发价为24元． （2）设每千克的平均销售价为m元，由题意得：
w?(m?24)(300?180?241?m) 3 ??60(m?35)?7260
∵－60＜0
∴当x=35时，w取得最大值为7260
答：当每千克平均销售价为35元时，一天的利润最大，最大利润是7260元． 【知识点】分式方程的应用，二次函数的应用 24．（2019山东省潍坊市，24，13分）如图1，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′．B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN．
（1）当MN∥B′D′时，求α的大小．
（2）如图2，对角线B′D′交AC于点H，交直线l于点G，延长C′B′交AB于点E，连接EH．当△HEB′的周长为2时，求菱形ABCD的周长．
【思路分析】（1）根据平行线分线段成比例求得MB′=ND′，证明△AB′M≌△AD′N，从而得到∠B′AM=∠D′AN=α，根据∠BAD=60°，求得α的大小；（2）先证明△AB′E≌△AD′G，得到EB′=GD′，AE=AG，再证明△AHE≌△AHG，得到EH=GH，从而△HEB′的周长= B′D′=BD ，进一步求出菱形的周长． 【解题过程】（1）∵MN∥B′D′ ∴
MB'C'B' ?ND'C'D'又∵C′B′=C′D′ ∴MB′=ND′
在△AB′M和△AD′N中
AB′=AD′，∠AB′M=∠AD′N，B′M=D′N ∴△AB′M≌△AD′N ∴∠B′AM=∠D′AN 又∵∠D′AN=α ∴∠B′AM=α ∴∠B′AM=∠BAB′=
11∠BAC=∠BAD=15° 24即α=15°
（2）在△AB′E和△AD′G中，
∠AB′E=∠AD′G，∠EAB′=∠GAD′，AB′=AD′ ∴△AB′E≌△AD′G ∴EB′=GD′，AE=AG
在△AHE和△AHG中，
AE=AG，∠EAH=∠GAH，AH=AH ∴△AHE≌△AHG ∴EH=GH
∵△HEB′的周长为2 ∴EH+EB′+B′H=2 ∴GH+GD′+B′H=2 ∴B′D′=BD=2
∴菱形ABCD的周长为8．
【知识点】菱形的性质，图形的旋转，全等三角形的判定和性质 25．（2019山东省潍坊市，25，13分）如图，在平面直角坐标系xoy中，O为坐标原点，点A（4，0），点B（0，4），△ABO的中线AC与y轴交于点C，且⊙M经过O，A，C三点． （1）求圆心M的坐标；
（2）若直线AD与⊙M相切于点A，交y轴于点D，求直线AD的函数表达式；
（3）在过点B且以圆心M为顶点的抛物线上有一动点P，过点P作PE∥y轴，交直线AD于点E．若以PE为半径的⊙P与直线AD相交于另一点F．当EF=45时，求点P的坐标．
【思路分析】（1）先求出点C的坐标，根据M为AC的中点求得坐标；（2）先证明Rt△AOC∽Rt△DOA，求出OD的长，从而求出点D的坐标，利用待定系数法求AD的解析式；（3）利用顶点式求出抛物线的解析式，过点P作PH⊥EF，垂足为H，设出点P的坐标，根据Rt△EHP∽Rt△DOA，得到可求解． 【解题过程】（1）∵AC是△ABO的中线 ∴点C的坐标为（0，2） ∵∠AOC=90°
∴线段AC是⊙M的直径 ∴点M为线段AC的中点 ∴圆心M的坐标为（2，1） （2）∵AD与⊙M相切于点A ∴AC⊥AD
∴Rt△AOC∽Rt△DOA ∴
EHOD，求出EH与PE的关系式，即?PEADOCOA1?? OAOD2∵OA=4， ∴OD=8
∴点D的坐标为（0，－8）
设直线AD的函数表达式为y=kx+b 可得：??0?4k?b
??8?b∴k=2，b=－8
∴直线AD的函数表达式为：y=2x－8
（3）设抛物线y?a(x?2)?1，且过点（0，4） ∴4=a(0－2)2+1 ∴a?23 432x?3x?4 4所以，抛物线的关系式为：y?设点P（m，∴PE?32，则点E（m，2m－8） m?3m?4）
432m?5m?12 4过点P作PH⊥EF，垂足为H
在Rt△DOA中，
AD?42?82?45 ∵PE∥y轴
∴Rt△EHP∽Rt△DOA ∴
EHOD8?? PEAD4523?(m2?5m?12) 54∴EH?∵EF?45 ∴25?23?(m2?5m?12) 542化简，得：3m?20m?28?0
14. 31419所以点P为（2，1）或（，）
33解之，得：m1=2，m2=
【知识点】二次函数综合，圆的基本性质，一次函数、二次函数的解析式，相似三角形的判定和性质
2019年山东省潍坊市中考数学试题（含解析）
