第三章-目标规划

第三章 目标规划 第一节 目标规划的数学模型

目标规划法是求一组变量的值，在一组资源约束和目标约束条件下，实现

管理目标与实际目标之间的偏差最小的一种方法。应用目标规划法解决多种目标决策问题时，首先要建立目标规划模型。目标规划模型由变量、约束和目标函数组成。

为具体说明目标规划与线性规划在处理问题方法上的区别，先通过例子介绍目标规划的有关概念及数学模型。

一、举例

例 1 某厂生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知计划期有关数据如下，求获利最大的生产方案。

生产有关数据表

Ⅰ

Ⅱ 1 2 10

拥有量 11 10

原材料 （公斤） 2 设备台时（小时） 1 利润 （元/件） 8

用线性规划方法求解：

设Ⅰ、Ⅱ两种产品产量分别为x1，x2

maxz?8x1?10x2?2x1?x2?11??x1?2x2?10?x,x?0?12

可得 Z=62元，X=（4，3）T

但实际决策时，有可能考虑市场等其它方面因素，例如按重要性排序的下列目标：

据市场信息，产品Ⅰ销售量下降，要求产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量； 尽可能充分利用现有设备，但不希望加班； 达到并超过计划利润指标56元。

这样考虑生产计划问题即为多目标规划问题。下面结合上述例题介绍有关

建立目标规划数学模型的基本概念。

二、目标规划基本概念

1. 设x1，x2为决策变量，并引入正、负偏差变量d+、d—

正偏差变量d+表示决策值超过目标值的部分；负偏差变量d—表示决策值未达到目标值的部分，d+，d－≥0。决策值不可能既超过又未达到目标值，因此恒有d+×d－＝0。

2.绝对约束和目标约束

绝对约束指必须严格满足的“≤，≥，＝” 约束，称为硬约束，例如线性规划中的约束，不满足它们的约束称为非可行解；目标约束是目标规划所特有的，它把约束的右端常数项看作追求的目标值，允许出现正、负偏差，用“d+、d－”表示，称为软约束。

约束的一般形式为：

?CijXj?di?di?gi

??i式中gi——第i个目标约束的目标值；

Cij——目标约束中决策变量的参数；

??di、di——以目标值gi为标准而设置的偏差变量。

线性规划问题的目标函数，在给定目标值和加入正、负偏差变量后可变为目标约束；同样，线性规划问题的绝对约束，加入正、负偏差变量后也可变为目标约束。

例如，例1中线性规划问题的目标函数：Z = 8 x1 + 10x2 ，可变换为目标规划问题中的目标约束：8 x1 + 10x2 =56 + d+－d－ ；而同样，线性规划问题的绝对约束：2x1 + x2 ≤11，可变换为目标规划问题中的目标约束：2x1 + x2 = 11－d－ 。

建立约束需注意的问题时：

（1）对于绝对约束，gi则为资源限制值，上式中不加di、di。 （2）非负约束是指偏差变量非负，di、di?0，至于决策变量是否要求

????

非负，依具体问题要求决定。

（3）在目标规划约束中，凡已列入目标约束的资源约束，不应再列入资源约束。

（4）如果有明显的目标要求，可在di和di中只选一个。 3.优先级与权系数

要解决的规划问题往往有多个目标，而决策者对于要达到的目标是有主次之分的。要求首先达到的目标赋予优先级P1，稍次者赋予P2 ，…。这里规定：不同级目标重要性差异悬殊，Pk ＞＞ Pk+1，即先保证上一级目标实现的基础上再考虑下一级目标，低级目标的多大收获也不能弥补高级目标的微小损失。若要区别具有相同优先级的目标的差别，可赋予不同的权系数wj 。

4.目标函数

目标规划问题的目标函数是由各目标约束不同的正、负偏差变量d+、d－，优先级Pk与权系数wj所构成的。与线性规划不同的是目标函数中不含决策变量xj 。当各目标值确定之后，决策者希望的是尽可能缩小对目标值的偏离。因此，目标规划问题的目标函数只能是：

Min Z = f (d+，d)。其基本形式有下列三种：

要求恰好达到目标值，即正、负偏差变量都应尽可能的小，这时目标函数的形式：

min Z = f (d+ + d－)

要求不超过目标值，即正偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式： min Z = f (d+ )

要求超过目标值，即负偏差变量应尽可能的小，这时目标函数的形式： min Z = f ( d－)

由此可见，目标规划比线性规划体现了新的灵活思想，约束和目标都不看作是绝对的。决策者根据要求赋予各目标不同的优先级、权系数，构造目标函数。下面举例说明。

例2 某构件公司商品混凝土车间生产能力为20t/h，每天工作8h，现有2个施工现场分别需要商品混凝土A为150t，商品混凝土B为100t，两种混凝土的构成、单位利润及企业所拥有的原材料见下表所示，现管理部门提出：

－

??

原材料消耗、拥有量R单位利润表

水泥/t 砂/t 单位利润/元

（1）充分利用生产能力； （2）加班不超过2h；

（3）产量尽量满足两工地需求； （4）力争实现利润2万元/天

试建立目标规划模型拟定一个满意的生产计划。 解： 1.确定变量

设x1、x2分别为两种混凝土的产量。 2.约束条件 （1）目标约束：

P1级：要求生产能力充分利用，即要求剩余工时越小越好。

x1?x2?d1?d1?160 其中要求d1?0

???A 0.35 0.55 100 B 0.25 0.65 80 拥有资源量 50t 130t P2级：要求可以加班，但每日不超过2h，即日产量不超过200t。

x1?x2?d2?d2?200 其中要求d2?0

???P3级：两个工地需求尽量满足，但不能超过需求。

x1?d3?150 其中要求d3?0

x2?d4?100 其中要求d4?0

????因需求量不能超过其需求，故d3，d4=0

P4级：目标利润超过2万元。

??100x1?80x2?d5?d5?20000 其中要求d5?0

???

（2）资源约束

水泥需求不超过现有资源：

0.35x1?0.25x2??50

砂需求不超过现有资源：

0.55x1?0.6x2??130

（3）非负约束

x1?0，x2?0，di、di?0(i?1，2，?，5)

3.目标函数

依目标约束中的要求，第三层目标中有两个子目标，其权数可依其利润多少的比例确定，即100:80，故W1=5，W2=4。故目标函数为

????Zmin?Pd?Pd?P(5d?4d)?Pd112233445

??整理得该问题的目标规划模型为：

目标：Zmin?P1d1?P2d2?P3(5d3?4d4)?P4d5 约束条件：

x1?x2?d1?d1?160 x1?x2?d2?d2?200

????????x1?d3?150

x2?d4?100

??100x1?80x2?d5?d5?20000

0.35x1?0.25x2??50 0.55x1?0.6x2??130

??x1?0，x2?0，di、di?0(i?1，2，?，5)

例 3 例1的决策者在原材料供应受严格限制的基础上考虑：产品Ⅰ产量低于产品Ⅱ产量；其次，尽可能充分利用现有设备，但不希望加班；再次，达

??