立体几何中的探索性问题
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立体几何中的探索性问题
一、探索平行关系
１．［201６·枣强中学模拟] 如图所示,在正四棱柱A1C中，E,F,G,Ｈ分别是棱CＣ1，C1D1，Ｄ1D，DC的中点,N是BC的中点,点M在四边形ＥFGＨ及其内部运动,则M只需满足条件___＿____,就有MＮ∥平面B１ＢＤＤ1.(注:请填上一个你认为正确的条件，不必考虑全部可能的情况)
答案：M位于线段FH上(答案不唯一) [解析] 连接HＮ，FH,FN,则FＨ∥DD1,HN∥BD，FH∩HN=H,DD１∩ＢD＝D,∴平面FHN∥平面Ｂ1BDD1，故只要Ｍ∈FH,则ＭN?平面FＨＮ，且MN∥平面B1BDD1.
2.如图所示，在正方体ABＣD-A1B１Ｃ1D1中，E是棱DD1的中点.
(１)求直线ＢE和平面ABB1A1所成的角的正弦值;
（2）在棱C1Ｄ１上是否存在一点Ｆ,使B1F∥平面A1ＢE?证明你的结论.
解:(1）如图所示,取ＡA１的中点M,连接EM，ＢM.因为Ｅ是ＤD1的中点，四边形ＡＤD1A1为正方形，所以EM∥AD.（2分)
又在正方体ABＣＤ-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1Ａ1,
所以EＭ⊥平面ＡBＢ1A１，从而BM为直线BE在平面AＢＢ1Ａ1上的射影,∠EBM为BE和平面ＡBＢ1A1所成的角.(4分)
设正方体的棱长为２, 则ＥＭ=AＤ=2，ＢE＝
错误!＝3.
错误!=错误!，(５分）
于是,在Rt△ＢＥM中，sin∠EBM=
即直线BE和平面AＢB１A１所成的角的正弦值为＼f(2，3）．(6分)
(2)在棱C１Ｄ1上存在点F，使B１F∥平面Ａ1ＢE．
事实上,如图（b）所示,分别取C1D１和CD的中点F,G,连接B1F,ＥG,BＧ,CD1,FＧ. 因A1D１∥B１C1∥BC，且A1Ｄ１= BC，所以四边形Ａ1BCD1是平行四边形, 因此D１C∥Ａ1B.
又E,G分别为D1D,CD的中点, 所以EG∥Ｄ1C，从而EG∥A1B.
这说明A1，B,G，E四点共面．所以BG?平面A１ＢE． (8分）
因四边形C1CDＤ1与B1BCＣ１皆为正方形,F，G分别为Ｃ1D1和CＤ的中点， 所以FG∥C１Ｃ∥Ｂ1B,且FG=Ｃ1Ｃ＝Ｂ1B， 因此四边形B1BGF是平行四边形,所以Ｂ1F∥ＢＧ, (10分）
而B1F?平面A1BE，BG?平面Ａ１BE， 故B1F∥平面A1BＥ．(12分）
3.如图,四棱锥Ｐ-ABCD中,PD⊥平面ＡBCD，底面AＢCD为矩形，ＰD＝DC=４，AD＝2,Ｅ为PC的中点．
(1)求三棱锥A-PDE的体积；
(2）ＡC边上是否存在一点M,使得PA∥平面EDM？若存在，求出AM的长;若不存在，请说明理由.
解析：(１)∵PＤ⊥平面ＡBCD,∴PD⊥AD. 又∵AＢCD是矩形, ∴ＡD⊥CD. ∵PD∩CＤ＝D， ∴AD⊥平面PCD,
∴AＤ是三棱锥A-PＤＥ的高． ∵E为ＰＣ的中点，且PD＝ＤＣ＝4， ∴Ｓ△PＤＥ＝
错误!Ｓ△ＰDＣ=
错误!×错误!=４.
错误!.
又ＡD=2，
11
∴VA-ＰＤE=AD·Ｓ△PＤE＝×２×４=33
(2)取AＣ中点M，连接ＥＭ，DM，∵Ｅ为PC的中点，M是ＡＣ的中点，∴EM∥PＡ. 又∵EM?平面EＤＭ,ＰA?平面EDM, ∴PＡ∥平面EDＭ． 1
∴AM=ＡC=
2
错误!．
即在ＡＣ边上存在一点Ｍ,使得PA∥平面EDM,AM的长为＼ｒ(5).
4．如图所示，在三棱锥P - ＡBＣ中,点D，E分别为PB,ＢC的中点．在线段AＣ上是否存在点F,使得AD∥平面PEF？若存在,求出
错误!的值;若不存在，请说明理由．
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