第一章 常用逻辑用语 1.4 全称量词与存在量词
1.4.1 全称量词 1.4.2 存在量词
A级 基础巩固
一、选择题
1．下列命题中，不是全称命题的是( ) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个向量都有大小
D．一定存在没有最大值的二次函数 解析：D选项是特称命题． 答案：D
2．下列命题中特称命题的个数是( ) (1)至少有一个偶数是质数． (2)?x0∈R，log2x0>0. (3)有的实数大于零．
A．0 B．1 C．2 D．3 解析：(1)中含有存在量词“至少”，所以是特称命题． (2)中含有存在量词符号“?”，所以是特称命题． (3)中含有存在量词“有的”，所以是特称命题． 答案：D
1
3．下列命题不是“?x0∈R，x20>3”的表述方法的是( ) A．有一个x0∈R，使x20>3 B．对有些x0∈R，使x20>3 C．任选一个x0∈R，使x20>3 D．至少有一个x0∈R，使x20>3
解析：选项C中“任选一个”是全称量词，没有“?”的含义． 答案：C
4．下列特称命题中，假命题是( ) A．?x0∈R，x20－2x0－3＝0
B．至少有一个x0∈Z，x0能被2和3整除 C．存在两个相交平面垂直于同一直线 D．?x0∈{x|x是无理数}，x20是有理数
解析：垂直于同一直线的两个平面是平行的，所以找不到两个相交平面垂直于同一直线．
答案：C
5．若存在x0∈R，使ax20＋2x0＋a＜0，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 C．－1＜a＜1 答案：A 二、填空题
6．若命题p：“?x∈[0，1]，a≥ex”为真命题，则a的取值范围是________．
解析：因为函数y＝ex在[0，1]上为增函数， 所以1≤y≤e，
若p为真，则a≥(ex)max＝e.
2
B．a≤1 D．－1＜a≤1
答案：[e，＋∞)
7．给出四个命题：①末位数是偶数的整数能被2整除；②有的菱形是正方形；③存在实数x，x＞0；④对于任意实数x，2x＋1是奇数．其中特称命题为________(填序号)．
答案：②③
8．若?x∈R，f(x)＝(a2－1)x是单调减函数，则a的取值范围是________．
解析：依题意有：
?a2－1＞0，??a＜－1或a＞1，?2
0＜a－1＜1??2???
??a－1＜1，??－2＜a＜2，
－2＜a＜－1或1＜a＜2. 答案：(－2，－1)∪(1，2) 三、解答题
9．首先判断下列命题是全称命题还是特称命题，然后写出命题的否定，并判断其真假．
(1)有些素数是奇数；
(2)所有的矩形都是平行四边形；
(3)不论m取何实数，方程x2＋2x－m＝0都有实数根； (4)?x0∈R，x20＋2x0＋5>0.
解：(1)是特称命题，其否定为：所有的素数都不是奇数，假命题．
(2)是全称命题，其否定为：存在一个矩形，不是平行四边形，假命题．
(3)是全称命题，其否定为：存在实数m，使得x2＋2x－m＝0没有实数根，
因为Δ＝4＋4m<0，即当m<－1时，一元二次方程没有实根，
3
所以其否定是真命题．
(4)是特称命题，其否定为：?x∈R，x2＋2x＋5≤0，因为x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4，所以命题的否定是假命题．
10．关于x的函数y＝x2－(a＋1)x＋2a对于任意a∈[－1，1]的值都有y>0，求实数x的取值范围．
解：设f(a)＝x2－(a＋1)x＋2a，则有f(a)＝(2－x)a＋x2－x，a∈[－1，1]，因为a∈[－1，1]时，y＝f(a)>0恒成立，则
(1)当x＝2时，f(a)＝2>0显然成立；
??f（－1）>0，
(2)当x≠2时，由f(a)>0在a∈[－1，1]上恒成立，得?
?f（1）>0，???x2－2>0，
即?解得x>2或x<－2. ??x2－2x＋2>0，
综上可得：x>2或x<－2.
B级 能力提升
1．四个命题：①?x∈R，x2－3x＋2＞0恒成立；②?x∈Q，x2
＝2；③?x∈R，x2＋1＝0；④?x∈R，4x2＞2x－1＋3x2.其中真命题的个数为( )
A．0个 C．2个 答案：A
2．若命题“?x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围为______________．
解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4＞0， 解得a＜－1或a＞3.
答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)
3．若?x∈R，函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公
4
B．1个 D．3个
共点，求实数a的取值范围．
解：(1)当m＝0时，f(x)＝x－a与x轴恒相交， 所以a∈R.
(2)当m≠0时，二次函数f(x)＝mx2＋x－m－a的图象和x轴恒有公共点的充要条件是Δ＝1＋4m(m＋a)≥0恒成立，即4m2＋4am＋1≥0恒成立．
又4m2＋4am＋1≥0是一个关于m的二次不等式，恒成立的充要条件是Δ＝(4a)2－16≤0，解得－1≤a≤1.
综上所述，当m＝0时，a∈R； 当m≠0，a∈[－1，1]．
5
高中数学人教A版第一章1.4-1.4.2存在量词
