∵AE⊥GF，
∴∠AOF＝∠GMF＝∠ABE＝90°，
∴∠BAE+∠AFO＝90°，∠AFO+∠FGM＝90°， ∴∠BAE＝∠FGM， ∴△ABE∽△GMF， ∴
＝
，
∵∠AMG＝∠D＝∠DAM＝90°， ∴四边形AMGD是矩形， ∴GM＝AD， ∴
（3）解：如图2﹣1中，作PM⊥BC交BC的延长线于M．
＝
＝
＝k．
∵FB∥GC，FE∥GP， ∴∠CGP＝∠BFE，
∴tan∠CGP＝tan∠BFE＝＝
，
∴可以假设BE＝3k，BF＝4k，EF＝AF＝5k， ∵
＝，FG＝2
，
）2， ，
∴AE＝3
∴（3k）2+（9k）2＝（3∴K＝1或﹣1（舍弃）， ∴BE＝3，AB＝9， ∵BC：AB＝2：3， ∴BC＝6，
∴BE＝CE＝3，AD＝PE＝BC＝6， ∵∠BEF＝∠FEP＝∠PME＝90°，
∴∠FEB+∠PEM＝90°，∠PEM+∠EPM＝90°， ∴∠FEB＝∠EPM， ∴△FBE∽△EMP， ∴
＝
＝＝
， ，
， ﹣3＝， ＝
．
∴＝∴EM＝
，PM＝
∴CM＝EM＝EC＝∴PC＝
【点评】本题属于相似形综合题，考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 25．（13分）如图，在直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别交于点B，点C，对称轴为x＝1的抛物线过B，C两点，且交x轴于另一点A，连接AC． （1）直接写出点A，点B，点C的坐标和抛物线的解析式；
（2）已知点P为第一象限内抛物线上一点，当点P到直线BC的距离最大时，求点P的坐标；
（3）抛物线上是否存在一点Q（点C除外），使以点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC
相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6，故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3），即可求解； （2）PH＝PGcosα＝
（﹣x2+x+3+x﹣3），即可求解；
（3）分点Q在x轴上方、点Q在x轴下方两种情况，分别求解． 【解答】解：（1）y＝﹣x+3，令x＝0，则y＝3，令y＝0，则x＝6， 故点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，3）， 抛物线的对称轴为x＝1，则点A（﹣4，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣6）（x+4）＝a（x2﹣2x﹣24）， 即﹣24a＝3，解得：a＝﹣，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x+3…①；
（2）过点P作y轴的平行线交BC于点G，作PH⊥BC于点H，
则∠HPG＝∠CBA＝α，tan∠CAB＝
＝＝tanα，则cosα＝
，
设点P（x，﹣x2+x+3），则点G（x，﹣x+3）， 则PH＝PGcosα＝∵
（﹣x2+x+3+x﹣3）＝﹣
x2+
x，
＜0，故PH有最小值，此时x＝3，
）；
则点P（3，
（3）①当点Q在x轴上方时，
则点Q，A，B为顶点的三角形与△ABC全等，此时点Q与点C关于函数对称轴对称， 则点Q（2，3）； ②当点Q在x轴下方时，
Q，A，B为顶点的三角形与△ABC相似，则∠ACB＝∠Q′AB，
当∠ABC＝∠ABQ′时，
直线BC表达式的k值为﹣，则直线BQ′表达式的k值为， 设直线BQ′表达式为：y＝x+b，将点B的坐标代入上式并解得： 直线BQ′的表达式为：y＝x﹣3…②， 联立①②并解得：x＝6或﹣8（舍去6）， 故点Q（Q′）坐标为（﹣8，﹣7）； 当∠ABC＝∠ABQ′时，
同理可得：直线BQ′的表达式为：y＝x﹣…③， 联立①③并解得：x＝6或﹣10（舍去6）， 故点Q（Q′）坐标为（﹣10，﹣12）；
综上，点Q的坐标为：（2，3）或（﹣8，﹣7）或（﹣10，﹣12）．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、解直角三角形三角形相似等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
2024年湖北省中考数学模拟试卷含答案(8)
