5.3.2 事件之间的关系与运算
(教师独具内容)
课程标准：1.了解随机事件的并、交、互斥与对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算.2.通过实例，理解概率的性质，掌握随机事件概率的运算法则.
教学重点：事件的关系和运算，互斥事件、对立事件的概念，用概率的性质求事件的概率.
教学难点：区别互斥事件和对立事件，事件的混合运算.
知识点一 事件的包含
01A包含于□02(1)一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“□03B包含□04A”)，05A?B(或□06B?A)，B”(或“□记作□这一关系可用下图表示．
07A?B也可用充分必要的语言表述为：08充分条件，(2)□A发生是B发生的□09必要条件． B发生是A发生的□10≤P(B)． (3)如果A?B，则P(A)□知识点二 事件的相等
(1)如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一01A与B相等”，记作□02A＝B. 定发生，则称“□03A?B且B?A. (2)A＝B?□04充要条件． A＝B也可用充分必要的语言表述为：A发生是B发生的□05＝P(B)． (3)当A＝B时，有P(A)□知识点三 事件的和(并)
01(1)给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为□02A＋B(或□03A∪B)． A与B的和(或并)，记作□04和可以用如图所示的阴影部分表示． 事件A与B的□
05事件A与事件B中至少(2)由定义可知：①事件A＋B发生时，当且仅当□有一个发生；
06?(A＋B)且B□07?(A＋B)． ②A□08≤P(A＋B)且P(B)□09≤P(A＋B)，P(A＋B)□10≤P(A)＋P(B)． 因此，P(A)□
知识点四 事件的积(交)
01A与B的(1)给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为□02交)，记作□03AB(或□04A∩B)． 积(或□05积可以用如图所示的阴影部分表示． 事件A与B的□
06事件A与事件B都发生． (2)由定义可知：①事件AB发生时，当且仅当□07?A，AB□08?B. ②AB□09≤P(A)，P(AB)□10≤P(B)． 因此，P(AB)□知识点五 事件的互斥
01互斥，记(1)给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B□02AB＝?(或□03A∩B＝?)，这一关系可用下图表示． 作□
04互斥的，□05?与任意事件互斥． (2)任意两个基本事件都是□
06互斥(即AB＝□07?)时，有P(A＋B)＝□08P(A)＋P(B)，这称为(3)当A与B□互斥事件的概率加法公式．
一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝09P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． □知识点六 事件的对立
(1)给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件01对立事件，02－03－04称为A的□记作□A，用集合的观点来看，□A是A在Ω中的□补集，如图所示．
－05相互对立． (2)如果B＝A，则称A与B□06只(3)由定义可知，每次随机试验，在事件A与－A中，有一个发生，而且□有一个发生．又由于必然事件的概率为1，因此P(A)＋P(－A)＝1.
知识点七 事件的混合运算
同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规01求积运算的优先级高于□02求和运算． 定：□
1．对互斥事件与对立事件的理解
(1)事件A与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不可能同时发生，A与B发生与否有三种可能：A发生，B不发生；A不发生，B发生；A不发生，B不发生．即A与B两个事件同时发生的概率为0.
(2)两个事件互斥的定义可以推广到n个事件中，如果事件A1，A2，A3，…，An中的任意两个事件互斥，就称事件A1，A2，A3，…，An彼此互斥．
(3)若事件A，B为对立事件，则在一次试验中，事件A与它的对立事件只能发生其中一个，并且必然发生其中之一．
(4)若两个事件对立，那么这两个事件一定是互斥事件．若两个事件是互斥事件，但这两个事件不一定是对立事件．
2．设A，B，C为三个随机事件，用A，B，C的运算关系表示下列各事件． (1)A，B，C都发生． ABC.
(2)A发生，B与C都不发生． A－B－C. (3)A，B，C至少有一个发生． A＋B＋C. (4)A，B，C都不发生． －A－B－C. (5)A，B，C不多于一个发生． －
A－B－C＋A－B－C＋－AB－C＋－A－BC. (6)A，B，C不多于两个发生．
－A－B－C＋A－B－C＋－AB－C＋－A－BC＋AB－C＋A－BC＋－ABC＝－A＋－B＋－C. (7)A，B，C至少有两个发生．
AB－C＋A－BC＋－ABC＋ABC＝AB＋AC＋BC. 3．互斥事件的概率与对立事件的概率
(1)只有当事件A，B互斥时，公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)才成立；只有当事
件A，B对立时，公式P(A)＝1－P(B)才成立．
(2)当事件的概率正面求解较难，但其对立事件的概率易求时，可用对立事件的概率公式间接求解，对于含有“至多”“至少”等这样的问题，常用此法求解．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件．( ) (2)设M，N是两个随机事件，若M＋N＝Ω，则事件M与事件N不会同时发生．( )
(3)设A，B是两个随机事件，若A，B为互斥事件，则－A＋－B为必然事件．( ) (4)在同一试验中的两个事件A与B，一定有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．( ) (5)若事件A，B是对立事件，则一定有P(A)＋P(B)＝1.( ) 答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)× (5)√ 2．做一做
(1)掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是( )
A．A?B
B．AB＝{出现的点数为2} C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 答案 B
解析 由题意知事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故AB＝{出现的点数为2}．
(2)一批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品．从这批产品中任意抽取5件，现给出以下四个事件：
事件A：恰有一件次品； 事件B：至少有两件次品； 事件C：至少有一件次品； 事件D：至多有一件次品． 并给出以下结论： ①A＋B＝C； ②D＋B是必然事件； ③AB＝C；
2019-2020学年人教B版必修第二册 5.3.2事件之间的关系与运算 学案
