《概率论与数理统计》
第一章 随机事件与概率
1．事件的关系 A?B A?B AB A?B A ? ? AB?? 2．运算规则 （1）A?B?B?A AB?BA
（2）(A?B)?C?A?(B?C) (AB)C?A(BC)
（3）(A?B)C?(AC)?(BC) (AB)?C?(A?C)(B?C) （4）A?B?AB AB?A?B
3．概率P(A)满足的三条公理及性质： （1）0?P(A)?1 （2）P(?)?1
（3）对互不相容的事件A1,A2,?,An，有P(?A)??P(A) （n可以取?）
kkk?1k?1nn（4）P(?)?0 （5）P(A)?1?P(A)
（6）P(A?B)?P(A)?P(AB)，若A?B，则P(B?A)?P(B)?P(A)，P(A)?P(B) （7）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)
（8）P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(BC)?P(ABC) 4．古典概型：基本事件有限且等可能
5．几何概率 6．条件概率
（1） 定义：若P(B)?0，则P(A|B)?P(AB) P(B)（2） 乘法公式：P(AB)?P(B)P(A|B) 若B1,B2,?Bn为完备事件组，P(Bi)?0，则有 （3） 全概率公式： P(A)??P(B)P(A|B)
iii?1n（4） Bayes公式： P(Bk|A)?P(Bk)P(A|Bk)?P(B)P(A|B)iii?1n
7．事件的独立性： A, B独立?P(AB)?P(A)P(B) （注意独立性的应用）
第二章 随机变量与概率分布
1． 离散随机变量：取有限或可列个值，P(X?xi)?pi满足（1）pi?0，（2） （3）对任意D?R，P(X?D)??pii=1
i: xi?D?pi
2． 连续随机变量：具有概率密度函数f(x)，满足（1）f(x)?0, （2）P(a?X?b)?3． 几个常用随机变量 名称与记号 两点分布B(1,p) 二项式分布B(n,p) 分布列或密度 ???-?f(x)dx?1；
?baf(x)dx；（3）对任意a?R，P(X?a)?0
数学期望 方差 P(X?1)?p，P(X?0)?q?1?p kP(X?k)?Cnpkqn?k,k?0,1,2,?n， p np pq npq Poisson分布P(?) P(X?k)?e???kk!,k?0,1,2,? ? 1 p? q p2几何分布G(p) P(X?k)?qk?1p, k?1,2,? 均匀分布U(a,b) 1f(x)?, a?x?b， b?af(x)??e??x, x?0 a?b 21 ?(b?a)2 12指数分布E(?) 1?2 正态分布N(?,?) 2f(x)?12??e? (x??)22?2 ? ?2 4． 分布函数 F(x)?P(X?x)，具有以下性质
（1）F(??)?0, F(??)?1；（2）单调非降；（3）右连续； （4）P(a?X?b)?F(b)?F(a)，特别P(X?a)?1?F(a)； （5）对离散随机变量，F(x)? （6）对连续随机变量，F(x)?i: xi?x?pi；
?x??'f(t)dt为连续函数，且在f(x)连续点上，F(x)?f(x)
5． 正态分布的概率计算 以?(x)记标准正态分布N(0,1)的分布函数，则有 （1）?(0)?0.5；（2）?(?x)?1??(x)；（3）若X~N(?,?)，则F(x)??(2x???)；
（4）以u?记标准正态分布N(0,1)的上侧?分位数，则P(X?u?)???1??(u?) 6． 随机变量的函数 Y?g(X)
（1）离散时，求Y的值，将相同的概率相加；
（2）X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有一阶连续导数，则
fY(y)?fX(g?1(y))|(g?1(y))'|，若不单调，先求分布函数，再求导。
第四章 随机变量的数字特征 1．期望
(1) 离散时 E(X)?(2) 连续时E(X)??xpiii，E(g(X))??g(x)piii ；
?????xf(x)dx，E(g(X))??g(x)f(x)dx；
????(3) 二维时E(g(X,Y))??i,jg(xi,yj)pij，E(g(X,Y))???????????g(x,y)f(x,y)dxdy
(4)E(C)?C；（5）E(CX)?CE(X)； （6）E(X?Y)?E(X)?E(Y)； （7）X,Y独立时，E(XY)?E(X)E(Y) 2．方差
（1）方差D(X)?E(X?E(X))?E(X)?(EX)，标准差?(X)?（2）D(C)?0, D(X?C)?D(X)； （3）D(CX)?CD(X)；
（4）X,Y独立时，D(X?Y)?D(X)?D(Y) 3．协方差
（1）Cov(X,Y)?E[(X?E(X))(Y?E(Y))]?E(XY)?E(X)E(Y)； （2）Cov(X,Y)?Cov(Y,X), Cov(aX,bY)?abCov(X,Y)； （3）Cov(X1?X2,Y)?Cov(X1,Y)?Cov(X2,Y)；
（4）Cov(X,Y)?0时，称X,Y不相关，独立?不相关，反之不成立，但正态时等价； （5）D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y)
2222D(X)；
4．相关系数 ?XY?Cov(X,Y)；有|?XY|?1，|?XY|?1??a,b, P(Y?aX?b)?1
?(X)?(Y)kk5．k 阶原点矩?k?E(X)，k 阶中心矩?k?E(X?E(X))
第五章 大数定律与中心极限定理
1．Chebyshev不等式 P{|X?E(X)|??}?2．大数定律
3．中心极限定理
2（1）设随机变量X1,X2,?,Xn独立同分布E(Xi)??, D(Xi)??，则
D(X)?2 或P{|X?E(X)|??}?1?D(X)?2
1?2X~N(?, ) 或X~N(n?, n?)， 或??ii近似近似ni?1ni?1nn2?X ?n?ii?1nn?近似~N(0,1)，
（2）设m是n次独立重复试验中A发生的次数，P(A)?p，则对任意x，有
limP{n??m?npnpq?x}??(x)或理解为若X~B(n,p)，则X~N(np,npq)
近似第六章 样本及抽样分布
1．总体、样本
（1） 简单随机样本：即独立同分布于总体的分布（注意样本分布的求法）； （2） 样本数字特征：
?21n 样本均值X??Xi（E(X)??，D(X)?）；
ni?1n1n(Xi?X)2 样本方差S??n?1i?12（
E(S2)??2）样本标准差
S?1n(Xi?X)2 ?n?1i?11nk1nk 样本k阶原点矩?k??Xi，样本k阶中心矩?k??(Xi?X)
ni?1ni?12．统计量：样本的函数且不包含任何未知数
3．三个常用分布（注意它们的密度函数形状及分位点定义）
222222 （1）?分布 ??X1?X2???Xn~?(n)，其中X1,X2,?,Xn独立同分布于标
准正态分布N(0,1)，若X~?(n1), Y~?(n2)且独立，则X?Y~?(n1?n2)；
222 （2）t分布 t?XY/n~t(n)，其中X~N(0,1), Y~?2(n)且独立；
（3）F分布 F?X/n1~F(n1,n2)，其中X~?2(n1),Y~?2(n2)且独立，有下面的Y/n2性质
11~F(n2,n1), F1??(n1,n2)? FF?(n2,n1)4．正态总体的抽样分布
（1）X~N(?,?/n)； （2）
21?2?(Xi?1ni??)2~?2(n)；
X??S/n（3）
(n?1)S2?2~?2(n?1)且与X独立； （4）t?~t(n?1)；
2(X?Y)?(?1??2)n1n2(n1?1)S12?(n2?1)S22（5）t? ~t(n1?n2?2)，S??S?n1?n2n1?n2?2S12/?12（6）F?2~F(n1?1,n2?1) 2S2/?2第七章 参数估计 1．矩估计：
（1）根据参数个数求总体的矩；（2）令总体的矩等于样本的矩；（3）解方程求出矩估计 2．极大似然估计：
（1）写出极大似然函数；（2）求对数极大似然函数（3）求导数或偏导数；（4）令导数或偏导数为0，解出极大似然估计（如无解回到（1）直接求最大值，一般为min{xi}或max{xi}） 3．估计量的评选原则
?)??，则为无偏； (2) 有效性：两个无偏估计中方差小的有效； (1)无偏性：若E(?4．参数的区间估计（正态） 参数 条件 估计函数 置信区间 ?已知 2u?x??? ?未知 2?/nx??s/n[x?u?2?n] t? [x?t?(n?1)2sn] ?2
?未知 ?2?(n?1)s2?2 (n?1)s2(n?1)s2[2,2] ??(n?1)??(n?1)21?2
概率论与数理统计复习资料知识点总结
