课题：独立重复试验与二项分布
青州第六中学 冯波
教材：人民教育出版社B版 课型：新授课 一．教材分析 1．教材内容
“二项分布”是普通高中课程标准实验教科书选修2-3第二章《概率》的内容，《概率》是组合数学的最初步的知识，以“计数问题”为主要特征，是学生学习概率理论与统计数学的基础知识，也是学生学习高等数学的预备知识。其中所蕴涵的数学思想方法独特灵活，是发展学生的抽象、概括能力、培养学生逻辑推理能力、凸现数学的应用价值的好素材。“二项分布”研究的对象是 次独立重复事件的试验,是瑞士数学家雅 伯努利首先研究的,故又称伯努利概型，由于学生已经学习了独立事件,又有二项式定理作为基础,再学习“二项分布”相对而言认知起来要容易一点。本节计划两课时，今天是第一课时： 2．地位与作用
“二项分布”是概率理论中的三大概率分布之一，同时也是自成体系的知识块，也是后继课程某些内容的一个铺垫。运用“二项分布”可以解决一些比较典型的数学问题，
通过本课的教学，进一步提高学生的归纳演绎能力，让学生感受数学来源于生活，最终也将服务于生活，充分展示数学的应用价值。 二．学情分析
认知分析：学生的认知结构中已经有了独立事件, 二项式定理等有关知识，对于概率的类型和概率分布已经有了初步的认识。
能力分析：学生能够运用所学知识区分概率的类型、判断事件之间是否独立，会求一些简单的概率分布，但归纳演绎能力、探索提炼的能力有待于进一步提高。
三．教学目标与重点、难点 教学目标： 知识目标：（1）使学生参与并探讨“二项分布”的形成过程，掌握“二项分布”中的字母意义和数学本质
（2）准确认知伯努利试验，能正确应用“二项分布”解决实际问题
能力目标：培养学生分析、归纳、演绎能力，发现问题，探求问题的能力，逻辑推理能力，以及由特殊到一般，又由一般到特殊的数学思想。
感情目标：通过对“二项分布”的教学，丰富学生数学认知的水平，提高学生数学建模的能力；通过对“二项分布”的教学，使学生感受和体验公式的简洁美、和谐美。
教学重点和难点：根据《江苏省普通高中数学课程标准教学要求》，本节课以伯努利试验的定义、 “二项分布”公式的推导、识记和应用为教学重点。以“二项分布”公式的推导过程中的思路教正、突破与优化为教学难点。 四．教学方法
根据建构主义的教学理论、学生的认知水平结构，和认识事物的规律，本节课主要采用引导发现法，注重从学生认知规律出发进行启发、诱导，充分调动学
生的积极性，发挥学生的主体作用，将探求知识的过程内化为学生自觉的行为。 五．教学设施：多媒体课件、实物展示平台、投影仪，通过运用实物展示平台实现师生互动、通过简洁的板书突出重点、强化解题的规范，以提高课堂效益。
六．教学过程 1、新课引入
请同学们认真阅读下列四个事件：
（1） 射击n 次，每一次射击可能击中目标，也可能不击中目标，而且射击条件不变时，可以认为击中目标的概率 是不变的；
（2） 抛掷一颗质地均匀的骰子 次，每一次抛掷可能出现“5”，也可能不出现“5”，而且每次掷出“5”的概率P都是 ： （3） 种植 粒棉花种子，每一粒种子可能出苗，也可能不出苗，其出苗率是67％； （4） 如某实验中小白鼠染毒后死亡概率为P ，对n只小白鼠进行实验，每一只白鼠染毒后死亡概率仍然为P。 问题：观察上面的事件有什么共性？
学生：(1) 每次实验只有两类对立的结果；(2) n次事件相互独立；(3) 每次实验结果发生的概率是一个常数。
点题——这样的试验称为“n次独立重复试验” 2、新课教学 教师板书：
一般地，由n次试验构成，且每次试验相互独立完成，每次试验的结果仅有两种独立的状态，即A与 ，每次试验中 我们将这种试验称为n次独立重复试验。 教师：由于“n次独立重复试验”是瑞士数学家雅 伯努利首先研究的,故也称为伯努利试验。
将来同学们对数学领域的某个问题产生了兴趣，取得一定的成果就可以称为“XXX定理”——不失时机地鼓励学生去探索数学王国，激发学生的求知欲，去摘取数学皇冠上的明珠。
以某实验中小白鼠染毒后死亡概率为P,生存概率为q为例 引导探究一：
问题1：若对一只小白鼠进行实验的结果是什么情况？ 学生：死（概率为P）或生（概率为q）———共两种
问题2：若设随机变量X是小白鼠染毒后死亡的只数，求X的概率分布。 学生：
引导探究二：
问题1：若对二只小白鼠（甲乙）进行实验的结果是什么情况？ 学生：甲乙均死（概率为P2）、甲死乙生[概率为 ]、乙死甲生[概率为 ]、甲乙均生[概率为q2]，概率相加得
问题2：若设随机变量X是小白鼠染毒后死亡的只数，求X的概率分布。 学生：
引导探究三：
问题1：若对三只小白鼠进行实验，可能出现的结果又是什么情况呢？ 问题2：若设随机变量X是小白鼠染毒后死亡的只数，求X的概率分布。 教师：学生直接列举得结果的种数有困难，引导学生借助“树形图”得结果的种数，板书“树形图”（省略）
分析问题：若设随机变量X是小白鼠染毒后死亡的只数，不能看出对应的概率分布
分析当X=0、1、2、3时发生的可能性分别为
因此概率分布也可以表示为图（2） 且概率相加不难发现 引导探究四：
依此类推，对n只小白鼠进行实验时，若有 只小白鼠染毒后死亡称之为事件A 事件A发生的概率为多少？
让学生在已有的认知的基础上归纳、猜想出一般规律，突出研究数学问题的一般方法——“从特殊到一般”的思想
教师引导：事件A在某指定的 只小白鼠染毒后死亡，其余 只生存，其概率为 ，而n只小白鼠有 只染毒后死亡的情况有 种可能，（特别强调 只对象的不确定性，引导学生联系二项式定理的通项进行识记） 所以
问题：若用随机变量X表示小白鼠染毒后死亡的只数，求X的概率分布。 学生：
教师板书：
一般地，在n次独立试验中，每次试验事件A发生的概率均为p(0
问题： 的含义是什么？
学生1：在100次独立试验中，事件A恰好发生50次的概率 问题： 的值是多少？为什么？
教师引导1：这是一个必然事迹，即 =1
教师引导2：从函数以及二项式定理的角度可知：
教师板书：引导学生自主探究，这是让学生形成认知冲突、激发求知欲望，调动学生参与到教学活动中，使学生始终成为教学的主体，认识事物的规律，遵循由特殊到一般的归纳思想是一个重要的数学思想，有利于提高学生的归纳能力，是本课教学的一个重点。 3、例题讲解
例一：求随机抛掷100次均匀硬币，正好出现50次正面的概率。 分析：题目是让学生直接感受、理解二项分布，强调解题格式 教师板书解题过程；设、解、答。
问题：随机抛掷100次均匀硬币，正好出现k次反面的概率是多少？ 通过一题多变培养学生的审题能力和理解能力。 学生： =
例二、某种灯泡使用寿命在1000小时以上的概率为0.2，求3个灯泡使用1000小时后，至多只坏一个的概率？ 学生板演：（省略）
教师对学生的解答进行客观的评价，并指出不足之处。 问题：若把“至多”变成“至少”题目有如何解呢？ 教师通过提问让学生叙说解题过程
回顾例二：选择教材书后练习一，旨在从正反两个角度求“n次独立重复试验”的概率，也是为了提出数学的应用价值。
4、课堂小结：引导学生回顾本课时内容，并加以概括 设计意图：通过归纳、小结，使知识系统化、条理化。 5、布置作业，巩固课堂教学
设计意图：通过作业进一步巩固本节课所学内容。 六、板书设计 例1：
例1变： 例2：
例2变： 二项分布
1、n次独立重复试验的定义 2、n次独立重复试验的特点 3、二项分布公式 4、数学思想方法 特殊到一般 分类讨论
七、“二项分布”教案设计说明
新课标要求理解基本的数学概念、数学结论的本质，体会过程所蕴涵的数学思想和方法，要求学生自主学习，自主探究，要求发展学生数学应用意识和创新意识。综合上述要求，准备这节课，我主要思考了这么几个问题：
（1）在内容安排上分两课时，第一课时主要引导学生探究二项分布的形成过程及利用二项分布解决简单的实际问题，第二课时重在体现二项分布的实际应用，在应用中掌握二项分布与超几何分布、0-1分布的区别和联系。
（2）我反复斟酌这节课的教学目的是：使学生感知、体会“二项分布公式”形成过程，能直接使用“二项分布公式”即可。于是，我这节课花了大部分时间是来引导学生探究“二项分布公式”
（3）学生怎样才能掌握“二项分布公式”？不是通过大量的练习来达到目的，而是通过对“二项分布公式”的形成过程来记忆？正如前面所说“学问之道，问而得，不如求而得之深固也”。这样也符合以教师为主导、学生为主体、师生互动的新课程教学理念。
（4）本节课从随机变量的概率分布出发，由已知到未知、由简单到复杂、由特殊到一般，顺应学生的思维线路，自然流畅、循序渐进、一气呵成。以问题解决为中心，教会学生如何研究数学问题，领悟——将特殊问题适度形式化，养成——从特殊到一般再到特殊的数学思维习惯，为学生终身学习打下坚实的基础。
（5）以问题背景，引发学生的认知冲突，通过逐层构建，分层递进，再将问题一般化，教师对学生的构想，自始至终要给予鼓励和赞美，以培育学生思维的多样性，提高他们学习数学的兴趣，激发学生的探究欲。
（6）注重知识的迁移，把二项分布与函数知识进行类比，实质上在n次独立重复的实验中，事件A发生k次的概率P（k）是随机变量k（k=1,2,3,…,n）的函数，通过知识的类比、迁移使学生进一步明确二项分布实质是一个函数关系。
例1是求自变量为50时的函数值，例2是求自变量为0和1时的函数值之和。 （7）以规范的解题步骤要求学生，提高课堂的实效性
独立重复试验与二项分布教学设计
