（3）由题意，得：
a=m2+3n2，b=2mn
∵4=2mn，且m、n为正整数， ∴m=2，n=1或者m=1，n=2，
∴a=2+3×1=7，或a=1+3×2=13．……………5分
五、解答题(本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分) 23. 解：(1)x??2
2
2
2
b2???1 ……………1分 2a2?(?1)(2)图像略 ……………3分 （3）因为抛物线的对称轴是x?1，点p(1,5) 当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点 所以直线x?1 为所求直线 ……………4分 当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b, 令 ?x2?2x?3?kx?b 2?x?(2?k)x?3?b?0 整理得
2??(2?k)?4(3?b)?0 ……………5分 由题意得
即：k2?4k?16?4b?0 又因为y=kx+b,过点p(1,5)
所以5=k+b 所以k2?4?0
2解得k??2 ……………6分
所以解析式为y1?2x?3,y2??2x?7 ……………7分 所以满足条件的直线有三条：直线x?1；y1?2x?3,y2??2x?7
24. （1）MD=ME ……………1分
（2）如图，作DF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G．
因为DF、EG分别是等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形 ACE斜边上的高，
所以F、G分别是AB、AC的中点．
又∵M是BC的中点，所以MF、MG是△ABC的中位线．
11AC，MG?AB，MF//AC，MG//AB． 22∴∠BFM＝∠BAC，∠MGC＝∠BAC．
∴∠BFM＝∠MGC．所以∠DFM＝∠MGE．……………2分
∵DF、EG分别是直角三角形ABD和直角三角形ACE斜边上的中线，
11∴EG?AC，DF?AB．
22∴MF＝EG，DF＝NG． ……………3分
∴MF?∴△DFM≌△MGE．
∴DM＝ME． ……………4分 ∠FMD=∠GEM ∴∠DME=∠FMD+∠FMG+∠GME=∠GEM+∠MGC+∠GME ∵EG⊥AC 0
∴∠EGC=90
0
∵∠GEM+∠MGC+∠GME+∠EGC=180
0
∴∠DME=90 ……………5分 （3）作图正确得一分 ……………6分
△MDE是等腰直角三角形． ……………7分 25 （1）∵直线y?AEBMDC1x?2经过点C,∴C(0,2) 22 ∵抛物线y??x?bx?c经过点C(0,2)，D(3,)
72?2?c? ∴?7??32?3b?c??2 ………………1分
7??b? 解得 ?2 ………………2分
??c?2∴抛物线的解析式为y??x2?7x?2 2（2）∵点P的横坐标为m且在抛物线上
∴P(m,?m2?71m?2),F(m,m?2) ………………3分 22 ∵PF∥CO，∴当PF?CO时，以O,C,P,F为顶点的四边形是平行四边形 ① 当0?m?3时，PF??m2?71m?2?(m?2)??m2?3m 22∴?m2?3m?2，解得：m1?1,m2?2 …………5分 即当m?1或2时，四边形OCPF是平行四边形 ② 当m?3时，PF?(m?2)?(?m2?127m?2)?m2?3m 2m2?3m?2，解得：m1?3?173?17,m2?（舍去） 22即当m1?3?17时，四边形OCFP是平行四边形 …………6分 2（3）P1(,)，P2(17222313,) …………8分 618具体方案如下：如图，当点P在CD上方且?PCF?45?时，
作PM?CD,CN?PF,则
△PMF∽△CNF，∴
PMCNm???2
1MFFNm2 ∴PM?CM?2CF ∴
PF?5FM?5CF?5?555CN?CN?m 222 又∵PF??m2?3m ∴?m2?3m? 解得：m1?5m 2117，m2?0（舍去） ∴P(,)。 2222313,) 618同理可以求得：另外一点为P(备注：若考生的解法与给出的解法不同，正确者可参照评分参考相应给分
北京市门头沟区2014年中考二模数学试题
