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考点22 正弦定理和余弦定理
1.(山东省栖霞市2019届高三高考模拟卷数学理)设锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为
a,b,c,若a?2,B?2A,则b的取值范围为( )
A.(0,4) C.(22,23) 【答案】C 【解析】
由锐角三角形ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a?2,B?2A,
B.(2,23) D.(22,4)
? 0?2A????2,A?B?3A,
?2?3A?? ?A??6?3 ,0?A??4
?23 ?cosA?22a?2,B?2A,
由正弦定理得
b1?b?2cosA,即b?4cosA a2?22?4cosA?23
则b的取值范围为(22,23),故选C.
2.(山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理科)在?ABC中,a,b,c分别为角A,B,C的对边,若?ABC的面为S,且43S??a?b??c2,则sin?C?2??????( ) 4?D.A.1 【答案】D
B.
2 2C.6?2 46?2 4【解析】由43S??a?b??c2,
21222得43?absinC?a?b?c?2ab,
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∵ a2?b2?c2?2abcosC, ∴ 23absinC?2abcosC?2ab, 即3sinC?cosC?1
???即2sin?C???1,
6??则sin?C?????1?, ?6?2∵ 0?C??, ∴ ??6?C??6?5?, 6∴ C??6??6,即C??3,
???????????32126?2则sin?C???sin????sincos?cossin?, ????4?3434??34?22224故选:D.
cosA?3.(辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试理科二)在?ABC中,
的面积为( ) A.1 【答案】C 【解析】
B.2
1,则?ABCBC?3,AB?2,3x1C.
x2D.32 由余弦定理可知BC2?AB2?AC2?2AB?AC?cosA ?3AC2?4AC?15?0
122, ?AC?3,因为cosA?,所以sinA?1?cos2A?331因此S?ABC?AB?AC?sinA?22,故本题选C.
24.(广东省潮州市2019届高三第二次模拟考试数学理)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、
abcc,BC边上的高为,则?的最大值是_____.
22c2b【答案】2 【解析】
因为BC边上的高为
a, 2名师整理,助你成功
所以
1a1??a?bcsinA,即a2?2bcsinA, 222bcb2?c2a2?2bccosA 可得???2c2b2bc2bc?故
??2bcsinA?2bccosA??sinA?cosA?2sin?A???2,
4?2bc?bc?的最大值是2. 2c2b故答案为2.
5.(江苏省南通市2019届高三适应性考试)在?ABC中,已知AB边上的中线CM?1,且
11
,,tanAtanC
1成等差数列,则AB的长为________. tanB【答案】【解析】
23 3111
,,成等差数列, tanAtanCtanB2112cosCcosAcosBsin(A?B)sinC??????所以,即, tanCtanAtanBsinCsinAsinBsinAsinBsinAsinB因为
sin2Cc2所以2cosC?,由正弦定理可得cosC?,
sinAsinB2aba2?b2?c2a2?b2?c2c2又由余弦定理可得cosC?,所以,故a2?b2?2c2, ?2ab2ab2ab又因为AB边上的中线CM?1,所以CM?1,因为CM?所以4CM2222221CA?CB, 2???CA?CB?2CA?CB?CA?CB?2CACBcosC,
2c223. 即4?b?a?2ab??3c2,解c?32ab即AB的长为23. 3故答案为23. 36.(浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟考试)在?ABC中,A,B,C内角所对的边分别为a,b,
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c,已知b?2且ccosB?bcosC?4asinBsinC,则c的最小值为_____.
【答案】【解析】
∵ccosB?bcosC?4asinBsinC,
∴sinCcosB?sinBcosC?4sinAsinBsinC, ∴sin(B?C)?sinA?4sinAsinBsinC,∵sinA?0,
1 211,∴sinC?,
4sinB4bcsinC?8sin2C, ?由正弦定理可得,即c?2?sinBsinBsinC111当sinB?1时,sinCmin?.当sinC?时,则c的最小值为.
4241故答案为:.
2∴sinBsinC?7.(江西省鹰潭市2019届高三第一次模拟考试理)设ABC的三个内角A,B,C的对边分别是a,b,c,若
a?26,b?6,cosB??【答案】
1,那么角C的大小为__________. 2? 12【解析】
1cosB??,
2?B为钝角,可得B?2?3,sinB?.
23266?2由正弦定理sinA,可得. sinA?322A为锐角,?A??4.
?C???A?B????4?2???. 3128.(贵州省2019届高三高考教学质量测评卷八数学理)在?ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,
c,其中最大的角等于另外两个角的和,当最长边c?1时,?ABC周长的最大值为_______.
【答案】2?1 【解析】
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依题意,C?A?B,结合三角形的内角和定理,所以A?B?于是
?2,设?ABC的外接圆半径为R,则R?1,2a?b?2R(sinA?sinB)?sinA?sinB
????sinA?cosA?2sin?A??,
4??当A??4时,a?b取最大值为2,所以周长的最大值为2?1.
9.(北京市通州区2019届高三4月第一次模拟考试)在△ABC中,cosA?3,a?42,b?5,则5c?__________.
【答案】7 【解析】 由cosA?33,a?42,b?5,代入a2?b2?c2?2bccosA,得32?25?c2?2?5?c?,
55即:c2?6c?7?0解得c?7.(c??1 舍去) 故答案为:7.
10.(安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷)在?ABC中,?BAC?中线AD?3,则?ABC面积的最大值为__________. 【答案】93. 【解析】
在△ABC中,?BAC?2?,已知BC边上的32?1,BC边上的中线AD=3,AD?(AB?AC),设AB=c,AC=b, 32平方可得 9=
121?2?c?b2?2AB?AC??c2?b2?2cb?cos44?3????. ?化简可得,c2?b2?bc?36?2bc?bc?bc,∴bc≤36,当且仅当b?c时成立, 故△ABC的面积S=
12?bc?sin2313?36??93 22故答案为:93