圆锥摆模型全透视
石有山
一. 圆锥摆模型
1. 结构特点：一根质量和伸长可以不计的细线，系一个可以视为质点的摆球，在水平面内做匀速圆周运动。
2. 受力特点：只受两个力即竖直向下的重力mg和沿摆线方向的拉力FT。两个力的合力，就是摆球做圆周运动的向心力Fn，如图1所示。
图1
二. 常规讨论
1. 向心力和向心加速度
设摆球的质量为m，摆线长为l，与竖直方向的夹角为?，摆球的线速度为v，角速度为?，周期为T，频率为f。
v2Fn?man?mgtan??m
lsin??m?2lsin??m(2?)lsin??m(2?f)2lsin? Tv2an?gtan????2lsin?
lsin??(
2?2)lsin??(2?f)2lsin? T2. 摆线的拉力
有两种基本思路：当
?角已知时FT?mg；当?角未知时cos?FT?
Fn2??m?2l?()2l?m(2?f)2l sin?T3. 周期的计算
设悬点到圆周运动圆心的距离为h，根据向心力公式有T?2?此可知高度相同的圆锥摆周期相同与m、l、?无关。
4. 动态分析
根据mgtan??m?lsin?有cos??半径增大，周期变小。
三. 典型实例
例1. 将一个半径为R的内壁光滑的半球形碗固定在水平地面上，若使质量为m的小球贴着碗的内壁在水平内以角速度?做匀速圆周运动，如图2所示，求圆周平面距碗底的高度，若角速度?增大，则高度、回旋半径、向心力如何变化？
2lcos?h，由?2?ggg??l，当角速度?增大时，向心力增大，回旋
图2
解析：本题属于圆锥摆模型，球面的弹力类比于绳的拉力，球面半径类比于绳长。
mgtan??m?2Rsin?，故cos??g?R2，圆周平面距碗底的高度为
h?R?Rcos??R?向心力变大。
g?2。若角速度?增大，则有?增大，高度h变大，回旋半径变大，
点评：本题形式上不属于圆锥摆模型，但实质却为圆锥摆模型。
例2. 一个内壁光滑的圆锥筒绕其竖直轴线以角速度?做匀速转动，在圆锥筒内壁的A
处有一质量为m的小球与圆锥筒保持相对静止，在水平面内做匀速圆周运动，如图3所示，在圆锥筒的角速度增大时，小球到锥底的高度，回旋半径，向心力分别如何变化？
图3
解析：小球受两个力mg、FN作用，向心力mgcot??m?r，角速度增大时，由于角度?不变，故向心力不变，回旋半径r减小，小球到锥底的高度降低。
点评：本题区别于例1，不属于圆锥摆模型，圆锥摆模型是当角速度发生变化时，圆锥摆顶点保持不变，即摆长不变，本题动态分析的结论和例1相反。
例3. 一光滑的圆锥体固定在水平桌面上，其轴线沿竖直方向，其顶角为60?，如图4所示，一条长为L的轻绳，一端固定在锥顶O点，另一端拴一质量为m的小球，小球以速率v绕圆锥的轴线做水平面内的匀速圆周运动，求：
（1）当v?21gL时，绳上的拉力多大？ 63gL时，绳上的拉力多大？ 2（2）当v?
图4
解析：当小球刚好对圆锥没有压力时
v0mgtan30?m
Lsin30??2求得小球的线速度
v0?3gL 61gL?v0，小球不做圆锥摆运动，小球受三个力，如图5所示，用正交6（1）当v?分解法解题，在竖直方向
FTcos30??FNsin30??mg
图5
在水平方向
v2FTsin30?FNcos30?m ?Lsin30??解得FT?1033.mg （2）当v?角为?，则有
?gL?v0，小球做圆锥摆运动，且??30?，设此时绳与竖直方向的夹2v2mgtan??m
Lsin?解得??60 因此FT??mg?2mg ?cos60点评：本题要先判断究竟物体是否属于圆锥摆模型。判断时，先根据临界条件，当圆锥体刚好对斜面没有压力时，求得小球的线速度为v0。当v?v0时，小球做圆锥摆运动，
v?v0时，小球不做圆锥摆运动。
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