备战中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇含详细答案

（1）求这条抛物线的表达式； （2）求∠ACB的度数；

（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE⊥AC，当△DCE与△AOC相似时，求点D的坐标． 【答案】（1）解：当x=0,y=3， 所以C（0,3）

设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x- ). 将C（0,3）代入得- a=3，解得a=-2 所以抛物线的解析式为y=-2x2+x+3

（2）解：过点B作BM⊥AC，垂足为M，过点M作MN⊥OA，垂足为N，如图1，

∵OC=3，AO=1， ∴tan∠CAO=3.

∴直线AC的解析式为y=3x+3. ∵AC⊥BM，

∴BM的一次项系数为- .

设BM的解析式为y=- x+b,将点B的坐标代入得：- × +b=0,解得b= . ∴BM的解析式为y=- x+ .

将y=3x+3与y=- x+ 联立解得：x=- ，y= .

∴MC=BM=

∴?MCB为等腰三角形. ∴∠ACB=45°.

=

.

（3）解：如图2所示，延长CD，交x轴于点F.

∵∠ACB=45°,点D是第一象限抛物线上一点， ∴∠ECD＞45°.

又∵?DCE与?AOC相似，∠AOC=∠DEC=90°, ∴∠CAO=∠ECD. ∴CF=AF.

设点F的坐标为（a，0），则（a+1）2=32+a2，解得a=4. ∴F（4,0）.

设CF的解析式为y=kx+3，将F（4,0）代入得：4k+3=0，解得k=- . ∴CF的解析式为y=- x+3.

将y=- x+3与y=-2x2+x+3联立，解得x=0（舍去）或x= . 将x= 代入y=- x+3得y= ∴D（ ， ）．

【解析】【分析】（1）结合已知抛物线与x轴的交点AB，设抛物线的解析式为顶点式，代入点C的坐标求出系数，在回代化成抛物线解析式的一般形式。

（2）作垂线转化到直角三角形中利用锐角函数关系解出直线南AC的解析式，再利用待定系数法求出系数得出直线BC的解析式，联立方程得出点M的坐标，根据勾股定理求出MC,BM的长判断出是等腰直角三角形，得出角的度数 .

（3）根据相似三角形的性质的出两角相等，再利用待定系数法求出系数得出直线CF的解析式，再联立方程得出点D的坐标。