一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，在四边形ABCD中，AD//BC，
，BC=4，DC=3，AD=6.动点P从点D出
发，沿射线DA的方向,在射线DA上以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P、Q分别从点D,C同时出发,当点Q运动到点B时，点P随之停止运动.设运动的时间为t(秒).
（1）设 围）.
（2）当B,P,Q三点为顶点的三角形是等腰三角形时，求出此时 的值. （3）当线段PQ与线段AB相交于点O，且2OA=OB时，直接写出 （4）是否存在时刻 ，使得 【答案】（1）
=________.
若存在，求出 的值；若不存在,请说明理由.
的面积为 ，直接写出 与 之间的函数关系式是________（不写取值范
（2）解：如图1，过点P作PH⊥BC于点H，
∴∠PHB=∠PHQ=90°， ∵∠C=90°，AD∥BC， ∴∠CDP=90°， ∴四边形PHCD是矩形， ∴PH=CD=3，HC=PD=2t， ∵CQ=t，BC=4，
∴HQ=CH-CQ=t，BH=BC-CH=4-2t，BQ=4-t， ∴BQ2=
，BP2=
，PQ2=
，
由BQ2=BP2可得： 由BQ2=PQ2可得： 由BP2= PQ2可得： ∵当
，解得：无解； ，解得：
；
或
，
，解得：
时，BQ=4-4=0，不符合题意，
∴综上所述， （3）
或
；
（4）解：如图3，过点D作DM∥PQ交BC的延长线于点M，
则当∠BDM=90°时，PQ⊥BD，即当BM2=DM2+BD2时，PQ⊥BD， ∵AD∥BC，DM∥PQ， ∴四边形PQMD是平行四边形， ∴QM=PD=2t， ∵QC=t, ∴CM=QM-QC=t， ∵∠BCD=∠MCD=90°，
∴BD2=BC2+DC2=25，DM2=DC2+CM2=9+t2 ， ∵BM2=(BC+CM)2=(4+t)2 ， ∴由BM2=BD2+DM2可得： ∴当 即当
时，∠BDM=90°， 时，PQ⊥BD.
，解得：
，
【解析】【解答】解：（1）由题意可得BQ=BC-CQ=4-t，点P到BC的距离=CD=3， ∴S△PBQ= BQ×3=
；
（ 3 ）解：如图2，过点P作PM⊥BC交CB的延长线于点M，
∴∠PMC=∠C=90°， ∵AD∥BC，
∴∠D=90°，△OAP∽△OBQ，
∴四边形PMCD是矩形， ∴PM=CD=3，CM=PD=2t， ∵AD=6，BC=4，CQ=t，
，
∴PA=2t-6，BQ=4-t，MQ=CM-CQ=2t-t=t, ∴ ∴MQ=
，解得： ，
，
又∵PM=3，∠PMQ=90°， ∴tan∠BPQ=
；
【分析】（1）点P作PM⊥BC，垂足为M，则四边形PDCM为矩形，根据梯形的面积公式就可以利用t表示，就得到s与t之间的函数关系式。
（2）以B、P、Q三点为顶点的三角形是等腰三角形，可以分PQ=BQ、BP=BQ、PB=PQ三种情况，在Rt△PMQ中根据勾股定理，就得到一个关于t的方程，就可以求出t。 （3）根据相似三角形对应边比例可列式求出t，从而根据正切的定义求出值； （4）首先假设存在，然后根据相似三角形对应边成比例求证。
2．如图，AB是半圆O的直径，AB＝2，射线AM、BN为半圆O的切线.在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC.过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F.过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q.
（1）若△ABD≌△BFO，求BQ的长； （2）求证：FQ=BQ 【答案】（1）解：∵ ∴ ∵ ∴ 连接 ,
.
，
均为半圆切线，
≌
，
则 ∴四边形 ∵
∴DQ∥ ，
均为半圆切线，
为平行四边形 ∴
∽
，
，
∴ ∥ ， ∴四边形
，
为菱形，
（2）证明：易得 ∴ = ， ∴ ∵ ∴ 过 点作
. 是半圆的切线，
. 于点 ，
则 在 ∴ 解得： ∴ ∴
， . 中，
， ，
【解析】【分析】（1）连接OP,由ΔABD≌ΔBFO可得AD=OB，由切线长定理可得AD=DP，
于是易得OP=OA=DA=DP，根据菱形的判定可得四边形DAOP为菱形，则可得DQ∥AB，易得四边形DABQ为平行四边形 ，根据平行四边形的性质可求解；
（2）过Q点作QK⊥AM于点K，由已知易证得ΔABD∽ΔBFO，可得比例式的关系，则根据FQ=BF?BQ可得FQ与AD的关系，从而结论得证。
，可得
BF与AD的关系，由切线长定理可得AD=DP,QB=QP ，解直角三角形DQK可求得BQ与AD
3．如图，抛物线y=
x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为
（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；
（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，连接BD，点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；
（3）如图2，若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，求点Q的坐标．
【答案】（1）解：把B（6，0），C（0，6）代入y=
x2+bx+c，得
解得
,抛物线的解析式是y=
x2+2x+6, 顶点D的坐标是（2，8）
（2）解：如图1，过F作FG⊥x轴于点G， 设F（x，
x2+2x+6），则FG=
，
，
∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°，∴△FBG∽△BDE，∴
∵B（6，0），D（2，8），∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，∴BG=6-x，
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