高等数学教案 第五章 定积分
第五章 定积分
教学目的：
1、 理解定积分的概念。
2、 掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。 3、 理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。 4、 了解广义积分的概念并会计算广义积分。 教学重点：
1、定积分的性质及定积分中值定理 2、定积分的换元积分法与分部积分法。 3、牛顿—莱布尼茨公式。 教学难点： 1、 定积分的概念 2、 积分中值定理 3、 定积分的换元积分法分部积分法。 4、 变上限函数的导数。 §5? 1 定积分概念与性质 一、定积分问题举例
1? 曲边梯形的面积
曲边梯形? 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 由直线x?a、x?b、y?0及曲线y?f (x)所围成的图形称为曲边梯形? 其中曲线弧称为曲边? 求曲边梯形的面积的近似值?
将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形? 每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替? 每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积? 则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值? 具体方法是? 在区间[a? b]中任意插入若干个分点
a?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn ?b?
把[a? b]分成n个小区间
[x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]?
它们的长度依次为?x1? x1?x0 ? ??x2? x2?x1 ? ? ? ? ? ?xn ? xn ?xn?1 ?
经过每一个分点作平行于y 轴的直线段? 把曲边梯形分成n个窄曲边梯形? 在每个小区间 [xi?1? xi ]上任取一点??i ? 以[xi?1? xi ]为底、f (??i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i?1? 2? ? ? ? ? n) ? 把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值? 即
A?f (??1)?x1? f (??2)?x2?? ? ?? f (??n )?xn??f(?i)?xi?
i?1n 求曲边梯形的面积的精确值?
显然? 分点越多、每个小曲边梯形越窄? 所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯
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形面积A的精确值? 因此? 要求曲边梯形面积A的精确值? 只需无限地增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 记
??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 于是? 上述增加分点? 使每个小曲边梯形的宽度趋于零? 相当于令??0? 所以曲边梯形的面积为
A?lim?f(?i)?xi?
??0i?1n 2? 变速直线运动的路程
设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔[T 1? T 2]上t的连续函数? 且v(t)?0? 计算在这段时间内物体所经过的路程S ? 求近似路程?
我们把时间间隔[T 1? T 2]分成n 个小的时间间隔?ti ? 在每个小的时间间隔?ti内? 物体运动看成是均速的? 其速度近似为物体在时间间隔?ti内某点??i的速度v(??i)? 物体在时间间隔?ti内 运动的距离近似为?Si? v(??i)??ti ? 把物体在每一小的时间间隔?ti内 运动的距离加起来作为物体在时间间隔[T 1 ? T 2]内所经过的路程S 的近似值? 具体做法是? 在时间间隔[T 1 ? T 2]内任意插入若干个分点
T 1?t 0? t 1? t 2?? ? ?? t n?1? t n?T 2?
把[T 1 ? T 2]分成n个小段
[t 0? t 1]? [t 1? t 2]? ? ? ?? [t n?1? t n] ?
各小段时间的长依次为
?t 1?t 1?t 0? ?t 2?t 2?t 1?? ? ?? ?t n ?t n ?t n?1?
相应地? 在各段时间内物体经过的路程依次为
?S 1? ?S 2? ? ? ?? ?S n?
在时间间隔[t i?1? t i]上任取一个时刻? i (t i?1?? i? t i)? 以? i时刻的速度v(? i)来代替[t i?1? t i]上各个时刻的速度? 得到部分路程?S i的近似值? 即
?S i? v(? i)??t i (i?1? 2? ? ? ? ? n)?
于是这n段部分路程的近似值之和就是所求变速直线运动路程S 的近似值? 即
S??v(?i)?ti?
i?1n 求精确值?
记? ? max{?t 1? ?t 2?? ? ?? ?t n}? 当??0时? 取上述和式的极限? 即得变速直线运动的路程
S?lim?v(?i)?ti?
??0i?1n 设函数y?f(x)在区间[a? b]上非负、连续? 求直线x?a、x?b、y?0
及曲线y?f (x)所围成的曲边梯形的面积?
(1)用分点a?x0?x1?x2? ? ? ??xn?1?xn ?b把区间[a? b]分成n个小区间? [x0? x1]? [x1? x2]? [x2? x3]? ? ? ? ? [xn?1? xn ]? 记?xi?xi?xi?1 (i?1? 2? ? ? ? ? n)? (2)任取??i?[xi?1? xi]? 以[xi?1? xi]为底的小曲边梯形的面积可近似为
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f(?i)?xi (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求曲边梯形面积A的近似值为
A??f(?)?x?
iii?1nn (3)记??max{?x1? ?x2?? ? ?? ?xn }? 所以曲边梯形面积的精确值为 A?lim
设物体作直线运动? 已知速度v?v(t)是时间间隔[T 1? T 2]上t的连续函数? 且v(t)?0? 计算在这段时间内物体所经过的路程S ?
(1)用分点T1?t0?t1?t2?? ? ??t n?1?tn?T2把时间间隔[T 1 ? T 2]分成n个小时间 段? [t0? t1]? [t1? t2]? ? ? ?? [tn?1? tn] ? 记?ti ?ti?ti?1 (i?1? 2? ? ? ? ? n)?
(2)任取?i?[ti?1? ti]? 在时间段[ti?1? ti]内物体所经过的路程可近似为v(?i)?ti (i?1? 2? ? ? ? ? n)? 所求路程S 的近似值为 S???0?f(?)?x?
iii?1?v(?)?t?
iii?1nn (3)记??max{?t1? ?t2?? ? ?? ?tn}? 所求路程的精确值为 S?lim
二、定积分定义
抛开上述问题的具体意义? 抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括? 就抽象出下述定积分的定义?
定义 设函数f(x)在[a? b]上有界? 在[a? b]中任意插入若干个分点
a ?x0? x1? x2? ? ? ?? xn?1? xn?b?
把区间[a? b]分成n个小区间
[x0? x1]? [x1? x2]? ? ? ?? [xn?1? xn] ?
各小段区间的长依次为
?x1?x1?x0? ?x2?x2?x1?? ? ?? ?xn ?xn ?xn?1?
在每个小区间[xi?1? xi]上任取一个点? i (xi?1? ? i ? xi)? 作函数值f (? i)与小区间长度?xi的乘积
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