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第二十二课时：坐标轴的平移（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式；
（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：
通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴平移的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
揭示课题
2.1坐标轴的平移与旋转 创设情境 兴趣导入
在数控编程和机械加工中，经常出现工件只作旋转运动（主运动），而刀具发生与工件相对的进给运动．为了保证切削加工的顺利进行，经常需要变换坐标系．
例如，圆心在O1(2,1),半径为1的圆的方程为
(x?2)2?(y?1)2?1．
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对应图形如图2-1所示．如果不改变坐标轴的方向和单位长度，将坐标原点移至点O1处，那么，对于新坐标系x1O1y1，该圆的方程就是
x12?y12?1．
图2-1
动脑思考 探索新知
只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度的坐标系的变换，叫做坐标轴的平移．
下面研究坐标轴平移前后，同一个点在两个坐标系中的坐标之间的关系，反映这种关系的式子叫做坐标变换公式．
图2-2
如图2-2所示，把原坐标系xOy平移至新坐标系x1O1y1，O1在原坐标系中的坐标为
(x0,y0)．设原坐标系xOy两个坐标轴的单位向量分别为i和j，则新坐标系x1O1y1的单位向
量也分别为i和j，设点P在原坐标系中的坐标为(x,y)，在新坐标系中的坐标为(x1,y1)，于是有
uuuuruuuuruuurOP?xi+y j，O1P?x1i+y1 j， OO1?x0i+yo j，
uuuruuuuruuuur因为 OP?OO1?O1P， 所以 xi?yj? x0i?y0 j? x1i?y1 j，
即 xi?y j?（转下节） （x0? x1)i?(y0?y1)j．
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第二十三课时：坐标轴的平移（二）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴平移的坐标变换公式； （2会利用坐标轴平移化简曲线方程．
（3）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算； 能力目标：
通过对坐标轴平移的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴平移中，点的新坐标系坐标和原坐标系坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴平移的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
学生曾经学习过平移图形．平移坐标轴和平移图形是两种相关的变化方式，从平移的运动过程上看，平移坐标轴和平移图形是两种相反的过程．向左平移图形的效果相当于将坐标轴向右平移相同的单位；向上平移图形的效果相当于将坐标轴向下平移相同单位．要强调坐标轴平移只改变坐标原点的位置，而不改变坐标轴的方向和单位长度．坐标轴平移的坐标变换公式，教材中是利用向量来进行推证的，教学时要首先复习向量的相关知识．例1是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求点在原坐标系中坐标的题目．例2是利用坐标轴平移的坐标变换公式化简曲线方程的知识巩固性题目．教学中要强调新坐标系原点设置的原因，让学生理解为什么要配方．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】 （接上节）
于是得到坐标轴平移的坐标变换公式
?x1?x?x0,?x?x0?x1, （2.1） 或 ? （2.2） ?y?y?y.y?y?y.01?0?1【想一想】
公式(2.1)和公式(2.2)的区别在哪里？使用公式要注意些什么问题？
巩固知识 典型例题
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例1 平移坐标轴，将坐标原点移至O1（2，－1），求下列各点的新坐标： O(0,0)，A(2,1)，B(－1,2)，C(2,－4)，D(－3,－1)，E(0,5)． 解 由公式(2.2)，得
?x1?x?2, ?y?y?1.?1将各点的原坐标依次代入公式，得到各点的新坐标分别为
O（－2，1），A（0，2），B（－3，3）， C（0，－3），D（－5，0），E（－2，6）．
例2 利用坐标轴的平移化简圆x2?y2?4x?2y?4?0的方程，并画出新坐标系和圆. 解 将方程的左边配方，得
(x?2)2?(y?1)2?9．
这是以点（－2，1）为圆心，3为半径的圆．平移坐标轴，使得新坐标原点在点O1（－2，1），由公式（2.1）得
?x?x1?2, 将上式代入圆的方程，得 x12?y12?9． ??y?y1?1.这就是新坐标系x1O1y1中，圆的方程．新坐标系和圆的图形如图2-3所示．
运用知识 强化练习
1．平移坐标轴，把坐标原点移至O1（－1，－3），求下列各点的新坐标： A（3，2），B（－5，4），C（6，－2），D（1，－3），E（－5，－1）．
2．利用平移坐标轴，化简方程x2?y2?6x?4y?2?0，并指出新坐标系原点的坐标． 继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题2．1（必做）；学习与训练检测题2．1（选做）
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第二十四课时：坐标轴的旋转（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解坐标轴旋转的坐标变换公式，
（2）掌握点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算． 能力目标：
通过坐标轴旋转的坐标变换公式的学习，使学生的计算技能与计算工具使用技能得到锻炼和提高．
【教学重点】
坐标轴旋转中，点在新坐标系中的坐标和在原坐标系中的坐标的计算．
【教学难点】
坐标轴旋转的坐标变换公式的运用．
【教学设计】
强调坐标轴的旋转不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向．教材中采用数形结合的方式，结合一种比较直观的位置来进行介绍，并利用两角差的三角函数公式来推导坐标变换公式．这个公式也适用于其他类型的位置关系．要分析坐标轴旋转的两组公式的形式特点，帮助学生来进行记忆．两组公式的形式基本相近，符号可以用“新减加，原加?x?x1cos??y1sin?,?x?xcos??ysin?,减”来进行记忆．分清公式?和公式?1的不同意义，
y?ycos??xsin?.y?ycos??xsin?.?11?1前者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角?和点的新坐标系坐标表示原坐标系的坐标，适用于求点的原坐标系坐标；后者是用新坐标系相对原坐标系的旋转角?和点的原坐标系坐标表示新坐标系的坐标，适用于求点的新坐标系坐标．例3是利用坐标轴平移的坐标变换公式求点的新坐标系坐标的知识巩固性题目，教学中要强调公式中各量的位置，可以根据学生情况，适当补充求原坐标系坐标的题目．例4是综合使用坐标轴变换的题目，首先进行坐标轴平移，然后进行坐标轴旋转．这类问题虽然比较复杂，但是在实际生产中会遇到．通过这类问题的解决，可以培养学生的有序思维习惯，从而提高学生的数学素养．
【课时安排】
1课时．
【教学过程】
动脑思考 探索新知
不改变坐标原点的位置和单位长度，只改变坐标轴方向的坐标系的变换，叫做坐标轴的旋转．
职高高二数学教学方案课程教案坐标变换与参数方程
