精品教案
3．3 空间两点间的距离公式
时间：45分钟 满分：80分
一、选择题(每小题5分，共5×6＝30分)
1．若A(1,3，－2)，B(－2,3,2)，则A，B两点间的距离为( ) A.
61 B．25
57
1＋2
2＋
C．5 D.答案：C
解析：|AB|＝3－32＋－2－22＝5.
2．已知A(2,1,1)，B(1,1,2)，C(2,0,1)，则△ABC为( ) A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上都不对 答案：A
解析：由两点间的距离公式，得|AB|＝∴△ABC为直角三角形．
3．已知A(x,5－x,2x－1)，B(1，x＋2,2－x)，当|AB|取最小值时，x的值为( ) 8A．19 B．－
7819C. D. 714答案：C 解析：|AB|＝
2，|BC|＝
3，|AC|＝1，∴|AB|2＋|AC|2＝|BC|2，
x－12＋3－2x2＋3x－3
2
＝14x2－32x＋19＝
?8?58
214?x－?＋，∴当x＝时，|AB|最小．
7?7?7
4．在坐标平面xOy上，到点A(3,2,5)，B(3,5,1)的距离相等的点有( ) A．1个 B．2个 C．不存在 D．无数个 答案：D
解析：在坐标平面xOy内，设点P(x，y,0)，依题意得 ＝
x－32＋y－22＋25
x－32＋y－52＋1，整理得
1
y＝－，
2
x∈R，所以符合条件的点有无数个．
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5．在空间直角坐标系中，已知点P(x，y，z)的坐标满足方程(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2
＝1，则点P的轨迹是( )
A．圆 B．直线 C．球面 D．线段 答案：C
解析：(x－2)2＋(y＋1)2＋(z－3)2＝1表示(x，y，z)到点(2，－1,3)的距离的平方为1，它表示以(2，－1,3)为球心，以1为半径的球面．
6．已知A(1,2，－1)，B(1，t，t)(t∈R)，则|AB|的最小值为( ) 9
A. B．5 2C.
3 25 D.
2
13 2
2t2－2t＋5，∴当t＝时，|AB|min＝.
22
答案：D 解析：∵|AB|＝
t－22＋t＋12＝
二、填空题(每小题5分，共5×3＝15分)
?35?
7．已知点P?，，z?到线段AB中点的距离为3，其中A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则
?22?
z＝________.
答案：0或－4
?19?，，－2?.又点P到线段AB中点解析：由中点坐标公式，得线段AB中点的坐标为?22??
的距离为3，所以
?31??59?
?－?2＋?－?2＋[z－－2]2＝3，解得z＝0或z＝－4. ?22??22?
8．已知A(3,5，－7)，B(－2,4,3)，则线段AB在yOz平面上的射影长为________． 答案：
101
0－0
2＋
解析：点A(3,5，－7)，B(－2,4,3)在yOz平面上的射影分别为A′(0,5，－7)，B′(0,4,3)，∴线段AB在yOz平面上的射影长|A′B′|＝
4－5
2＋
3＋72＝101.
9．在空间直角坐标系中，已知点A(1,0,2)，B(1，－3,1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是____________．
答案：(0，－1,0)
解析：设M(0，y,0)，由|MA|＝|MB|得(1－0)2＋(0－y)2＋(2－0)2＝(1－0)2＋(－3－y)2
＋(1－0)2，解得y＝－1.∴M(0，－1,0)．
三、解答题(共35分，11＋12＋12)
10．已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，|CA|＝|CB|＝1，∠BCA＝90°，|AA1|＝2，M，
N分别是A1B1，A1A的中点，求MN的长．
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解：
以C为坐标原点，分别以CA，CB，CC1所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.
?11?
∵|CA|＝|CB|＝1，|AA1|＝2，∴N(1,0,1)，M?，，2?.
?22?
由两点间的距离公式，得 |MN|＝
?1??1?
?1－?2＋?0－?2＋1－2?2??2?
62.
2＝
6， 2
∴MN的长为
11．已知三点A(－1,1,2)，B(1,2，－1)，C(a,0,3)，是否存在实数a，使A、B、C共线？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
解：AB＝
－1－1－1－a2＋2＋2， 2＋
2＋
1－2
2＋
2＋2＋1
2
2＝ 14，
AC＝
＝
1－02－3
a＋1a－1
BC＝
＝
1－a2－02＋－1－3
2
2＋20，
因为BC＞AB，所以，若A，B，C三点共线，有BC＝AC＋AB或AC＝BC＋AB， 若BC＝AC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程无解； 若AC＝BC＋AB，整理得：5a2＋18a＋19＝0，此方程也无解． 所以不存在实数a，使A、B、C共线． 12.
如图，以棱长为a的正方体的三条棱为坐标轴，建立空间直角坐标O－xyz，点P在正方体的对角线AB上，点Q在正方体的棱CD上。
(1)当点P为对角线AB的中点，点Q在棱CD上运动时，探究PQ的最小值；
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高中数学 第二章 解析几何初步 2.3.3 空间两点间的距离公式练习 北师大版必修2
