新概念型问题
一、选择题
1、如图所示为一个污水净化塔内部，污水从上方入口进入后流经形如等腰直角三角形的净化材枓表面，流向如图中箭头所示，每一次水流流经三角形两腰的机会相同，经过四层净化后流入底部的5个出口中的一个．下列判断：①5个出口的出水量相同；②2号出口的出水量与4号出口的出水量相同；③1，2，3号出水口的出水量之比约为1：4：6；④若净化材枓损耗的速度与流经其表面水的数量成正比，则更换最慢的一个三角形材枓使用的时间约为更换最快的一个三角形材枓使用时间的6倍．其中正确的判断有（ ）个． A．1个B．２个C．３个D．４个 答案：B
二、填空题
1、(20XX年上海市)一个函数的图像关于y轴
成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y?x2?bx?4是“偶函数”，该函数的图像与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是 ▲ ． 答案：8；
a??b(a?b)2、对任意两实数a、b，定义运算“*”如下：a?b??. 根据这个规则，则
a??b?b(a?b)方程2?x＝9的解为________________________． 答案：－3或
37?1 23、定义：a是不为1的有理数，我们把
11称为a的差倒数．如：2的差倒数是??1，．．．1?a1?2?1的差倒数是
111?．已知a1??，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a41?(?1)23是a3的差倒数，……，依此类推，则a2012=． 答案：
3 44、现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a+b，如：3★5＝32－3×3+5，
若x★2＝6，则实数x的值是__ __． 答案：—1或4
11115、数学家们在研究15、12、10这三个数的倒数时发现：???．因此就将具有
12151012这样性质的三个数称之为调和数，若x、y、2 (x>y>2且均为正整数)也是一组调和数．则x、y的值分别为 ▲ ．
答案：6、3
6、定义运算“※”的运算法则为:a※b=
3ab+2，则(2※3) ※3 =．
答案：2
7、现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b＝a2－3a+b，如：3★5＝32－3×3+5，
若x★2＝6，则实数x的值是__ __． 答案：—1或4
三、解答题
1、 (20XX年上海市)（本题满分12分，其中第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）已知点A、B分别是x轴、y轴上的动点，点C、D是某个函数图像上的点，当四边形ABCD（A、B、C、D各点依次排列）为正方形时，我们称这个正方形为此函数图像的“伴侣正方形”．
例如：在图1中，正方形ABCD是一次函数y?x?1图像的其中一个“伴侣正方形”． （1）如图1，若某函数是一次函数y?x?1，求它的图像的所有“伴侣正方形”的边长； （2）如图2，若某函数是反比例函数y?
k
(k?0)，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD，x
点D(2,m)(m?2)在反比例函数图像上，求m的值及反比例函数的解析式； （3）如图3，若某函数是二次函数y?ax2?c(a?0)，它的图像的“伴侣正方形”为ABCD，
C、D中的一个点坐标为(3,4)，请你直接写出该二次函数的解析式． C
答案：解：（1）（I）如图1，当点A在x轴正半轴、点B在y轴负半轴上时：
正方形ABCD的边长为2．………………………………………………（1分） （II）当点A在x轴负半轴、点B在y轴正半轴上时：
设正方形边长为a，易得3a?2，………………………………………（1分） O B （第24题图1）
（第24题图2）
y D y?x?1 y y (3,4) 4 3 2 1 -2 -1 O 1 2 3 A x O x x （第24题图3）
22，此时正方形的边长为．………………………………（1分） 332∴所求“伴侣正方形”的边长为2或．
3解得a?
y D 3 y?x?1 y C O A x 2 F C B D
（2）如图2，作DE⊥x轴，CF⊥y轴，垂足分别为点E、F，
易证△ADE≌△BAO≌△CBF．
∵点D的坐标为(2,m)，m?2，∴DE = OA = BF = m， ∴OB = AE =CF = 2 - m．
∴OF=BF + OB = 2，∴点C的坐标为(2?m,2)．………………………（1分） ∴2m?2(2?m)，…………………………………………………………（1分） 解得m?1．…………………………………………………………………（1分）
2
．…………………………………………（1分） x
1237222331355（3）y?x2?或y??或y?x2?或y??x2?．…（5分） x?8840407777∴反比例函数的解析式为y?
注：第（3）小题写对一个函数解析式得2分，之后每写对一个得1分
2、(本题满分10分)在一个三角形中，如果一个角是另一个角的2倍，我们称这种三角形为
倍角三角形．如图28-1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的对边分别记为a,b,c，倍角三角形的三边a,b,c有什么关系呢？让我们一起来探索． C C AbcaBBacBCbAAbCcabAccaB
D（图28-1） （图28-2） （图28-3） （图28-4） （1）我们先从特殊的倍角三角形入手研究.请你结合图形填空： （2）如图28-4，
三角形 对于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠
C的对边分别记为a、b、c，a、b、c三边有什么关系呢？请你作出猜测，并结合图28-4给
图28-2 图28-3 ∠A=2∠B=90? ∠A=2∠B=60? 角的已知量 ab b?ca
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