尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）课后习题详解（第17章 资本市场）

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尼科尔森《微观经济理论-基本原理与扩展》（第9版）

第17章 资本市场 课后习题详解

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1．一个人拥有固定财富（w），并把它分配在两时期的消费中，个人的效用函数由下式给出：

u?c1,c2?

预算约束为：

w?c1?c2 1?r其中，r是当期利率。

（1）证明：如果这个人在此预算约束下要最大化其效用，则他应当选择MRS?c1对c2??1?r时的c1与c2的组合。

（2）证明?c2/?r?0，但是?c1/?r的符号不确定。如果?c1/?r为负，则c2的需求价格弹性为多大？

（3）如果个人在每一期都获得收入（y1与y2），并使预算约束为：

y1?c1??y2?c2?/?1?r??0

你对第（2）问的分析将怎样修正？ 解：（1）跨期决策的消费者的效用最大化问题为：

maxu?c1,c2?c1,c2 c2s.t.c1??w1?r设拉格朗日函数：

??c1.c2,???u?c1,c2??????c1???c2? 1?r??一阶条件为：

???u????0 ① ?c1?c1???u????0 ② ?c2?c21?rc???w?c1?2?0 ③ ??1??985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

从而解得：

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u?c1u?c2?1?r?MRSc1,c2

（2）如果令p?1，那么跨期决策的消费者效用最大化问题就是： 1?rmaxu?c1,c2?c1,c2

s..tc1?pc2?w这是一个普通的消费者效用最大化问题，则第二期消费c2可以表示为p、w的函数，记为c2?p,w?，利用斯拉茨基方程，可知：

?c2?h2?c2??c2 ?p?p?w其中，h代表希克斯需求。假设

?c2?0，即第二期的消费会随着总收入的提高而增加，?w那么由于替代效应为负，即

?h2?c?c?c1?0，可知2?0，从而2?2??1??0。 2?p?p?r?p?1?r?同理

?c1?c1?h1?c1?c1?c11??c1，由于交叉替代?，对利用斯勒茨基方程有??1?2?p?p?p?w?r?p1?r??效应

?h1?c?c的符号不能确定，所以即使假设收入效应为正，也不能确定1的符号，所以1的?p?p?r符号也不能确定。

1?。如果 c1 ? 0，则c2价格的下降将导致用于c21 ? r?r的总支出的增加，因而c2的需求是富有弹性的。

因此，c2是一个正常品，其价格为

（3）在新的预算约束下，预算约束的斜率没有发生变化，该预算约束必经c1?y1，

c2?y2。c1*?y1，如果在最优消费处有：则消费者将在时期1借款，在时期2还款。如果c1??y1，

则消费者将在时期1存款，在时期2动用储蓄。

2．假定一个人希望工作40年后退休，并再活20年。再假设个人收人每年以3%增加，利率也是3%（总体价格保持不变），则他应当在每个工作年份里储蓄多少（占收入之比例）才能够在退休后保证获得退休前收入的60%？

解：为了简便，此处采用连续时间来计算利息，因而t时刻的收入为：yt ? y0e0.03t，从而t时刻的储蓄为：st ? syt ? sy0e0.03t。

则40年的总储蓄为：

S??ste0.03?40?t? dt ? sy0?e0.03te0.03?40?t? dt ? sy0?e1.2 dt ? 40 sy0e1.2

000404040985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

T? ?0.6y40 e020

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退休时支出的现值为：

?0.03tdt?0.6 y0e ?e01.220?0.03te?0.03t20dt ?0.6y0e?20y0e1.2?1?e?0.6? |?0.0301.2由S?T可得，储蓄率为：s?

20y0e1.2?1?e?0.6?40y0e1.2?0.5?1?e?0.6??0.225。

3．苏格兰威士忌随时间增加而逐步增值。零年时的1美元威士忌在t年值V?t??e2t?0.15t。

如果利率为5%，问过多少年后，苏格兰威士忌的拥有者卖出酒时才能获得最大化的PDV？

解：由已知可得：

PDV?V?t?e?rt ? e2t?0.15t?e?0.05t?e2t?0.2t

PDV最大化的一阶条件为：

dPDV?e2dtt?0.2t?1????0.2??0，解得t?25。 ?t?此时有：PDV?e2t?0.2t?e5。

故过25年后，苏格兰威士忌的拥有者卖出酒时才能获得最大的PDV。

4．如果在例17.2中，假设在时期0时用1单位劳动就可以植树。一棵树的木材价值在t期为f?t?，如果市场工资率为w，即期利率为r，则该生产过程的PDV是多少？应当那何选择t以使PDV最大化？

（1）如果最优的t值为t?，试证明没有纯利润的完全竞争的条件将要求

w?e?rtf?t??

你能解释这一表达式的含义吗？

（2）t?期以前出售的树木将不立即伐掉。而且，对于新的林场来说，让树林继续生长到t?是有价值的。证明树龄为u年的树木的价格是weru，它将越过在u期时该树木的价值

?u?t，仅当时，二者才相等。 fu??????（3）假定土地所有者拥有一片“平衡”的树木，即他拥有从0期到t?期树木各一颗。

这片树林的价值是多少？[提示：它是所有树木价值之和]

（4）如果树林价值为V，证明，V的即期利息（即rV）等于所有者在每期所获得的

??所得收益减去种植一颗新树“利润”，其中“利润”是指出售一棵完全成熟的树?（w）?f?t??的成本。这一结果表明借款以购买一片树林时绝对不会有纯利润存在，因为必须要在每一

期支付的利息恰好等于砍伐一颗树所得的收益。

解：（1）现值为：

PDV?e?rtf?t?

从而有：

dPDV ? e?rtf?(t) ?f?t??re?rt? ? 0，因而可以解得：f??t? ?rf?t?? 0。 dt985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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从而在t?处，有：r?f??t?/f?t?。

因为w是当前支付的，利润??0要求w?e?rtf?t*?。

（2）一棵u年的树的价值为：e?r?t?u?f?t???weru，weru的增长率为r，在u?t*处时，树的增长率高于r。weru开始时大于f?t?，f?t?在t*处赶上weru。

（3）（4）这片树林的价值为：

V ? ?wedu? w?00rut*t*erut?1rt*edu?w |0?? we ? w?

rrru因而有：rV?f?t???w。

5．第4题的计算中假定关于砍一棵树与管理一片树林的决策之间没有差异。但是管理一片树林涉及到重新植树，这应该被模型化。为此，假定许多所有者考虑以成本w种植一棵树，在t?时树长成了，再种植另一棵树，如此反复。因而此时利润的贴现流为：

V ? ?w?e?rt??f?t??w?? ?e?r2t??f?t??w??? ?e?rnt??f?t??w????（1）证明：该种植活动的价值总和为：

V?f?t??wert?1?w

（2）求出使V最大化的t。证明该值是方程：f??t???rf?t???rV?t??的解。 （3）解释（2）中的结果。它们如何反映了投入时间的最优利用？为什么（2）中的t?值不同于例17.2中的值？

（4）假定树木的增长遵循如下函数：f?t??50/?1?e10?0.1t?。从这棵树上可得的最大木材量是多少？

（5）如果树木的增长由（4）中的方程所表征，在r?0.05，w?0的情况下，最优的时间是什么？该时间是否产生一个最大可持续的结果？

（6）如果r降为0.04，则最优时间如何变化？（注意：（2）中所得的方程在林业经济学中被称为浮士曼方程。

解：（1）对于无穷级数而言，有：

1?1?x?x2?? ?x?1? 1?x从而有：

x?x?x2?? ?x?1?，因此，根据该公式可得： 1?x985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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?rt?2rt?3rtV ? ?w ? ??f?t? ? w???e? e ?e ????e?rt? ??w ? ??f?t? ? w???1 ? ?rt??e?rt? ?w ? ??f?t? ? w??/?e ? 1?

（2）对V求一阶导数可得：

rtrtf?t??w?redV?e?1? f??t? ? ???? ?0 2rtdt ?e ? 1?从上式可以解出最优的时间t?。

从而可以解得：

rtf?t??w??re?? 0 ? rt ? 2rt?1e?e ?1?f??t?化简可得：

f?t??w? rert???f??t? ? rte?1f?t??w?f(t)? w? rertr???? r ??f?t??w?? ? ? ? ? rte?1rf(t)?ert ? 1? rt e?1r ?f?t??w?rw ?ert?1??? ? ? rt?1?e??ert?1??ert?1? ? rf?t?? rV?t?（3）在（2）中所求得的条件意味着，在最优的t?处，从延迟时间t砍伐树木可带来的收益f??t?必须于以下两种成本相平衡：①延迟砍伐树木当期的成本rf?t?；②延迟砍伐树木对未来时期树木生产和砍伐所造成的机会成本rV?t?。此处t?比例17.2解出的要小。直观上看，是因为让树继续生长需要占据额外的机会成本“树坑”，树坑是能带来持续收益的，即

“V的价值”，所以只有生长速率更快的小树才有保留的价值。

（4）如果f?t??50/?1?e10?0.1t?，则有：

limf?t??lim50/?1?e10?0.1t??50

t??t??因而从这棵树上可得的最大木材量为50。

（5）当r?0.05，w?0时，由（2）（3）可得：

f??t???5e10?0.1t?1?e10?0.1t2?

从而有：

?5e10?0.1t?1?e10?0.1t2???e10?0.05t?1??2.5e0.05t?1?e10?0.1t??0

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因而可以解得最优时间为：t?100，该结果不是最大导致木材最优产量的时间，因为树木总是在不断生产。

（6）如果r?0.04，则有：

?5e10?0.1t?1?e10?0.1t2???e10?0.04t?1??2.5e0.04t?1?e10?0.1t??0

因而可以解得最优时间为：t??104.1，较低的r提高了最优时间。

6．本题是关于税收与厂商投资决策的相互作用的。

（1）假定（事实并非如此）用于税收的利润是我们所称的纯经济利润。这种利润被征税将对投资决策产生什么影响？

（2）实际上，用于税收的利润被定义为

???pq?wl?折旧

这里，折旧由政府与行业的指导方针所决定，以求得在机器可使用的时间里分配其成本。如果折旧等于实际物质损耗且厂商处于长期竞争均衡，则对??征收什么样的税收会影响到厂商的资本投入决策。

（3）在（2）的条件下加速折旧政策的采用（即折旧率超过机器的实际物质损耗）将会对资本的使用产生什么影响？

（4）在（3）的条件下，公司利润税的下降将会对资本的使用产生什么影响？ 答：（1）这种利润被征税对投资决策将没有什么影响，因为在长期内不存在任何纯经济利润。

（2）在长期均衡时，v?PK?r?d?，政府对资本的机会成本征税，这会提高v，从而使得厂商有激励去用劳动替代资本。

（3）在（2）的条件下，这样做会增加资本的使用，因为资本投入的前期将享受税收优惠，尽管支付的税收总额是相同的，但是支付的时间价值是不同的，因而加速折旧下的税负现值比直线折旧下税负现值小。

（4）如果公司利润税下降，采用加速折旧所得的税收支付方面的收益将减少，从而有可能减少投资。

7．一个人寿保险推销员说：“在你这个年纪购买一张100000美元终身寿险保单比一张定期保单要好很多。持有终身寿险保单，你只在前4年里每年支付2000美元，但在你生命的以后的日子里就无需支付了。一张定期保单每年需要你支付400美元，而且永远是这样。如果你再活上35年，你只需对终身保单支付8000美元。但对定期保单则要支付14000美元。所以，终身保单无疑是笔更好的交易。”假定推销员的寿命预期是正确的，你将如何评价他的论断？更确切地说，假定利率为10%，请计算两张保单的保费成本的贴现值。

解：（1）推销员的评论不正确，因为他没有考虑保单成本的现值。 （2）下面计算两种保单成本的现值： 对于终生寿险保单而言，其成本现值为：

PVp???y?032000?1?r?y?100000?1?r?34??3059（美元）

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对于定期保单而言，其成本现值为：

PVf???y?034400?1?r?y?100000?1?r?34??329（美元）

从净现值的角度看，定期保单的成本现值高于终生寿险保单的现值，所以推销员的评论不正确。

8．假定一个人拥有W美元以分配于本期消费（c0）与下期消费（c1），利率为r。 （1）图示个人的最初均衡并且指出当期储蓄（W?c0）的总值； （2）假定个人在做出他的储蓄决策之后（通过购买单期债券），利率降至r?。这会改变个人的预算约束吗？请表明新的效用最大化位置。讨论个人的改进状态如何能被解释为是他最初债券购买的“资本所得”的结果。

（3）假定税收当局决定根据资本所得的量而征收收入税。如果所有这些所得以c0测度，请表明如何测算这些所得，将此值称为G1。

（4）假定用“实现了的”东西测度资本所得，即资本所得被定义为只包括那部分转换成现金以购买额外c0的债券，请说明这些实现了的所得应如何加以测度，请将此值称为G2。

（5）发展一种测度由于r下降导致效用真实增加的方法，用c0来测度。将这一真实的资本所得称为G3。证明G3?G2?G1。如果现行政策只对实现了的所得征税，那么，你会得出什么结论？

??解：（1）个人的当前均衡?c0,c1?和当期储蓄值?I?c0??W?c0??如图17-3所示。

图17-3 个人消费和储蓄决策

（2）利率升高会改变个人的预算线，如图17-3所示，个人预算线会从I旋转到I?，从而使个人效用水平从U0提高至U1，最终效用最大化的点为B。个人效用的提高代表了一种资本所得的结果，个人可以更为合理地配置其资源，从而获得更大的效用。

（3）应记的资本所得可以用消费c0的能力的总增量来测量（这是海格—西蒙对收入的定义），具体用II?来测量。

?cB来测度，（4）实现了的资本所得用c0即售出后可使消费者达到新的效用最大化选择cB的单期债券的现值。

（5）真实的资本所得可以用以c0表示的效用所得的值来测量，即用II?来测量。该值

?cB?II?。 小于（3）和（4）中的任何一个测量值。从图17-3可以看出：II??c0985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

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因而，对实现了的资本所得征税的政策尽管比对所有应计所得全部征税更为合理，但是仍存在一定程度的过度征税问题，因为它忽视了对消费机会c1的影响。

9．例17.3中假定石油是由一个竞争性的市场生产的。假定该例子的其他条件不变，如果石油由一个垄断厂商所有，则最优资源使用将如何发生变化？

解：如果石油由一个垄断厂商所有，则在最优资源使用所导致的价格Pn满足条件：

MRn??1?1/k?

其中k为石油市场需求的价格弹性。根据教材中的自然资源经济学理论可知，MR必须以速率r增长，因而在此有：

?rn? rnMR0 ? MRn e ? Pn ?1 ? 1/k?e

如果需求的弹性不变的，就有MR?kP。由于终期价格不变，利率也不变，同期的价格应该也和完全竞争市场相同。

如果k随时间变化保持不变，则有：

?rnP0 ? MR0 /?1?1/k? ? Pn e

10．最优控制理论可以用于推广例17.1中的跨期消费选择模型。考虑如下的简单的生命周期模型：某人每一期所得的工资为w，并且还获得他（或她）投资的资本收益。令k表示资本，r表示此人借贷的市场利率。在每一期，此人选择消费c来最大化：

?T0U?c?e??tdt

其中，?是此人的时间偏好率。在给定以上假设下，此问题的跨期预算约束为：

??w?rk?c kk的初值和终值都为：k?0??k?T??0。

（1）此最优化问题的必要条件是什么？

（2）在什么条件下，最优的消费会随时间而增加？什么时候消费随时间而下降？ （3）假定U?ln?c?，则最优的消费型式是什么？

（??1），则消费的最优时间型式是什么？ ?（5）此问题中的消费的最优时间型式如何决定了在生命周期模型中不同时点上此人的财富？

解：（1）设此问题的Hamilton函数为：

H ? U?c?e??t? ??w? rk?c? ?k?

.（4）更一般地，假定U?c??c?最优性条件为：

?H/?c ? U??c?e??t ??? 0 ①

? H/? k ? r? ??? 0 ②

?985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解

可行性条件为：

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??w?rk?c ③ kk?0??k?T??0 ④

从而由②可得：

? ? e?rt

由①可得：U??c?e??t? e?rt，即：U??c? ?e??r???t ⑤ ⑤式即为此最优化问题的最优性条件。

（2）由（1）可知，如果r??，则U??c?? 1，因而消费不变，是一个常数；如果r??，则U??c?将会随着时间的推移而变小，因而c将上升（因为一般而言边际效用U??c?是递减的，即U???c? ?0）；如果r??，则将随着时间的推移而变大，因而c将下降。

1（3）如果U(c)?lnc，则边际效用为：U??，因而由（1）中的最优性条件可知，消

c费的最优型式为：

c ? c0e?r???t

即消费遵循指数路径增长或下降。 （4）如果消费函数为：U?c??c??，则边际效用为：U??c??c??1，再根据（1）中的最

???1???r??/??1?t优性条件可得，此时消费的最优型式为：c??1?c0e??r???t，即：c ? c1/e??????。 0因为??1，所以现在消费的增长率取决于?。不同时期的消费之间的可替代性越小（即

，则消费的增长率会越小。如果????（无替代性），则c为一个常数。 ?负得越大）

（5）由于在此生命周期模型中，收入是不变的，所以财富将仅由消费的型式所决定。如果消费随着时间的推移而增加，而财富的型式将是驼峰状的；但是如果消费随着时间的推移而下降，则财富将是负的。

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