的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A.0.05
B.0.007 5
1C. 3
1D. 6
1
(2)(2018·濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是相互独立的，则灯亮的概率为
2( )
A.3 16
3B. 4
C.13 16
1D. 4
【答案】 (1)C (2)C
【解析】 (1)设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝P(AB)0.051
＝＝. P(A)0.153
(2)灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开， 1111111111113
∴灯泡不亮的概率是×××＋×××＋×××＝，
22222222222216∵灯亮和灯不亮是两个对立事件， 313
∴灯亮的概率是1－＝.
1616考点二 全概率公式
【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 【答案】见解析
【解析】设事件A为“任取一件为次品”， 事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3.
B1∪B2∪B3＝S，
由全概率公式得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2，
P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，
故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013. 【规律方法】全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若
A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中.
(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.
(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.
【训练2】 一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率. 【答案】见解析
【解析】A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}.
－
－
因为B＝AB∪AB，且AB与AB互不相容，所以
－
－
－
P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝×＋×＝0.6.
考点三 独立重复试验与二项分布
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
65
10946109
(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；
(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列. 【答案】见解析
【解析】(1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).
(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2，
X服从超几何分布.
C2863C12C2828
P(X＝0)＝2＝，P(X＝1)＝2＝，
C40130C4065C1211
P(X＝2)＝2＝，
C40130∴X的分布列为 22
1
1
X P 0 63 1301 28 652 11 130123
(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为＝. 4010
从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过505克的件数Y的可能取3??2，值为0，1，2，且Y～B??， ?10?3??P(Y＝k)＝Ck2?1－??10?
2－k?3?， ?10???
2
k?7?490
所以P(Y＝0)＝C2·??＝，
?10?100
P(Y＝1)＝C1·＝， 2·
3
10
7211050
P(Y＝2)＝C2＝2·?10?∴Y的分布列为
?3???
2
9. 100
Y P 0 49 1001 21 502 9 100【规律方法】 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Cnp(1－p)
kkn－k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试
验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试
验中事件A恰好发生了k次的概率.
【训练3】 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人.
(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；
(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列. 【答案】见解析
【解析】(1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C40，记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事件A所包含的基本事件数为C15C25， C15C2515×2525所以所求的概率P(A)＝2＝＝.
C4020×3952
40
(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的概率为1002＝， 5
1
1
1
12
?2?故X～B?3，?. ?5?
270?2??3?所以P(X＝0)＝C3????＝，
?5??5?125
0
3
?2??3?54，
P(X＝1)＝C13????＝
?5??5?125?2??3?36，
P(X＝2)＝C23????＝
?5??5?125
8?2??3?P(X＝3)＝C3. 3????＝
?5??5?125所以X的分布列为
3
0
2
2
X P 0 27 1251 54 1252 36 1253 8 125考点四 正态分布
【例4】 (1)(2019·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝( ) A.0.6
B.0.4
C.0.3
D.0.2
2
(2)(2019·茂名一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( )
(注：若X～N(μ，σ)，则P(μ－σ 2 A.7 539 B.6 038 C.7 028 D.6 587 【答案】 (1)A (2)D 【解析】 (1)因为随机变量ξ 服从正态分布N(2，σ)，μ＝2，得对称轴为x＝2，P(ξ<4)＝0.8， 2 ∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6. (2)∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. ∵P(μ－σ ∴P(0 ∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587. 【规律方法】 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个. (2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ). 【训练4】 (2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，50).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( ) (参考数据：若X～N(μ，σ)，有P(μ－σ 2 2 P(μ－3σ A.0.977 2 B.0.682 6 C.0.997 4 D.0.954 4
2020届高考数学一轮复习条件概率、二项分布及正态分布练习含解析
