2021年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）试题解析
一、选择题:1 10 小题,每小题5 分,共50 分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题 纸指定位置上。．．．（1）当x?0时，
?x20(e?1)是x7的 （ ）.
(C)高阶无穷小.
(D)同阶但非等价无穷小.
t3(A)低阶无穷小.
【答案】C.
(B)等价无穷小.
x?x(et3?1)dt???2x(ex6?1)~2x77t3【解析】因为当x?0时，?，所以?(e?1)是x的
??0?0?22高阶无穷小，正确答案是C.
?ex?1,x?0?（2）函数f(x)??x，在x?0处（
?1,x?0?）
(A)连续且取极大值.(C)可导且导数为0.
【答案】D
(B)连续且取极小值.(D)可导且导数不为0.
ex?1【解析】因为limf(x)?lim?1?f(0)，故f(x)在x?0处连续.
x?0x?0xex?1?1f(x)?f(0)ex?1?x11x?因为lim，故，故选D.?lim?lim?f(0)?x?0x?0x?0x?0x?0x222(3)有一圆柱体底面半径与高随时间变化的速率分别为2cm/s，?3cm/s，当底面半径为
10cm，高为5cm，圆柱体的体积与表面积随时间变化的速率分别为（ (A)125?cm3/s，40?cm2/s. (B)125?cm3/s，?40?cm2/s. (C)?100?cm3/s，40?cm2/s. (D)?100?cm3/s，?40?cm2/s.
【答案】C. 【解析】由题意知.
）.
drdh?2，??3，又V??r2h，S?2?rh?2?r2. dtdtdVdrdhdSdrdhdr则?2?rh??r2，?2?h?2?r?4?r.
dtdtdtdtdtdtdtdVdS??100?，?40?，选C. dtdtb(4)设函数f(x)?ax?blnx(a?0)有两个零点，则的取值范围 （ ）.
a11(A)(e,??). (D)(,??). (B)(0,e). (C)(0,).
ee【答案】A.
bb【解析】令f(x)?ax?blnx?0，f?(x)?a?，令f?(x)?0有驻点x?，
ax当r?10，h?5时，
bbbb?b?f???a??b?ln?0.从而ln?1，可得?e，选A.
aaaa?a?(5)设函数f(x)?secx在x?0处的2次泰勒多项式为1?ax?bx2，则 （ ）.
1(A)a?1，b??.
21(C)a?0，b??.
2【答案】D.
【解析】由
1. 21(D)a?0，b?.
2(B)a?1，b?f(x)?f(0)?f?(0)x?f??(0)2x?o(x2)知当f(x)?secx时，2f(0)?sec0?1， f?(0)?(secxtanx)?0，f??(0)?(secxtan2x?sec3x)x?0x?0?1，则
1f(x)?secx?1?x2?o(x2)，选D.
2（6）设函数f(x,y)可微，且f(x?1,e)?x(x?1)，f(x,x)?2xlnx，则df(1,1)?（ ）
x222(A)dx?dy.
【答案】C(B)dx?dy. (C)dy. (D)?dy.
xxx2【解析】f1?(x?1,e)?ef2?(x?1,e)?(x?1)?2x(x?1) ①
f1?(x,x2)?2xf2?(x,x2)?4xlnx?2x②
?x?0?x?1分别将?，?代入①②式有
y?1y?0??f1?(1,1)?f2?(1,1)?1，f1?(1,1)?2f2?(1,1)?2联立可得f1?(1,1)?0，f2?(1,1)?1，df(1,1)?f1?(1,1)dx?f2?(1,1)dy?dy，故选C.
(7)设函数f(x)在区间[0,1]上连续，则?f(x)dx?（ ）
01(A)lim?x??n?12nn?2k?1?1f???2n?2n?k?1?1f??.
2n??n (B)limx??2n?n?1n?2k?1?1f??.?2n?n(C)lim?x??n?1?k?2(D)lim?f??.
x???2n?nn?1【答案】B
【解析】由定积分定义秩，将(0,1)分成n份，取中间点的函数
?10?2k?1?1f(x)dx?lim?f??，即选B. x??2n??nn?1n2的正惯性指数与负惯性指数依(8)二次型f(x1,x2,x3)?(x1?x2)2?(x2?x3)2?(x3?x1)次为（ ）
(A)2,0.
【答案】B(B)1,1. (C)2,1. (D)1,2.
【解析】f(x1,x2,x3)?(x1?x2)?(x2?x3)?(x3?x1)?2x2?2x1x2?2x2x3?2x1x32222??1?1?011???所以A?121，故多项式?E?A??1?2?1?(??1)(??3)?.
???110??1?1???令上式等于零，故特征值为?1，3，0，故该二次型正惯性指数为1，负惯性指数为1，故
选B.
(9)设3阶矩阵A?(?1,?2,?3)，B?(?1,?2,?3)，若向量组?1,?2,?3可以由向量组
?1,?2,?3线性表出，则（ ）.
(A)Ax?0的解均为Bx?0的解. (B)ATx?0的解均为BTx?0的解. (C)Bx?0的解均为Ax?0的解. (D)BTx?0的解均为ATx?0的解.
【答案】D【解析】令A?(?1,?2,?3)，B?(?1,?2,?3)，由题意向量组?1,?2,?3可以由向量组
?1,?2,?3线性表出，即存在矩阵P，使得PB?A，则当BTxo?0时，
2021 年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)试题解析
