...
∵AM⊥BC， ∴AM⊥DE， ∴AM平分线段DE， ∵DN=NE， ∴A、N、M共线，
∴∠NMH=∠MND=∠DHM=90°， ∴四边形MNDH时矩形， ∴MN=DH， ∴
=
=sin60°=．
，
故答案为
（2）如图2中，连接AM、AN．
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，BM=MC，DN=NE， ∴AM⊥BC，AN⊥DE， ∴∴
=sin60°，=
，
=sin60°，
∵∠MAB=∠DAN=30°， ∴∠BAD=∠MAN， ∴△BAD∽△MAN， ∴
（3）如图3中，连接AM、AN，延长AD交CE于H，交AC于O．
=
=sin60°=
．
...
...
∵AB=AC，AD=AE，BM=CM，DN=NE， ∴AM⊥BC，AN⊥DE， ∵∠BAC=∠DAE， ∴∠ABC=∠ADE， ∴sin∠ABM=sin∠ADN， ∴
=
，
∵∠BAM=BAC，∠DAN=∠DAE， ∴∠BAM=∠DAN， ∴∠BAD=∠MAN． ∴△BAD∽△MAN， ∴
=
=sin∠ABC，
∵∠BAC=∠DAE， ∴∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵BD⊥CE， ∴∠BHC=90°，
∴∠ACE+∠COH=90°，∵∠AOB=∠COH， ∴∠ABD+∠AOB=90°， ∴∠BAO=90°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=45°， ∴
23．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为Q（2，﹣1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A
...
=sin45°=．
...
不重合），过点P作PD∥y轴，交AC于点D． （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）当△ADP是直角三角形时，求点P的坐标；
（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】HF：二次函数综合题．
【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将抛物线的解析式设为顶点式，然后将函数图象经过的C点坐标代入上式中，即可求出抛物线的解析式；
（2）由于PD∥y轴，所以∠ADP≠90°，若△ADP是直角三角形，可考虑两种情况：
①以点P为直角顶点，此时AP⊥DP，此时P点位于x轴上（即与B点重合），由此可求出P点的坐标； ②以点A为直角顶点，易知OA=OC，则∠OAC=45°，所以OA平分∠CAP，那么此时D、P关于x轴对称，可求出直线AC的解析式，然后设D、P的横坐标，根据抛物线和直线AC的解析式表示出D、P的纵坐标，由于两点关于x轴对称，则纵坐标互为相反数，可据此求出P点的坐标；
（3）P、B重合，E点在x轴上，这样A、P、E三点在x轴上，所以A、P、E、F为顶点不可能构成平行四边形，所以只有（2）②的一种情况符合题意，由②知此时P、Q重合；假设存在符合条件的平行四边形，那么根据平行四边形的性质知：P、F的纵坐标互为相反数，可据此求出F点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出F点的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线的顶点为Q（2，﹣1）， ∴设抛物线的解析式为y=a（x﹣2）2﹣1， 将C（0，3）代入上式，得： 3=a（0﹣2）2﹣1，a=1；
∴y=（x﹣2）2﹣1，即y=x2﹣4x+3；
（2）分两种情况：
①当点P1为直角顶点时，点P1与点B重合； 令y=0，得x2﹣4x+3=0，解得x1=1，x2=3； ∵点A在点B的右边， ∴B（1，0），A（3，0）； ∴P1（1，0）；
...
...
②当点A为△AP2D2的直角顶点时； ∵OA=OC，∠AOC=90°， ∴∠OAD2=45°；
当∠D2AP2=90°时，∠OAP2=45°， ∴AO平分∠D2AP2； 又∵P2D2∥y轴， ∴P2D2⊥AO，
∴P2、D2关于x轴对称；
设直线AC的函数关系式为y=kx+b（k≠0）． 将A（3，0），C（0，3）代入上式得：
，
解得
；
∴y=﹣x+3；
设D2（x，﹣x+3），P2（x，x2﹣4x+3）， 则有：（﹣x+3）+（x2﹣4x+3）=0， 即x﹣5x+6=0；
解得x1=2，x2=3（舍去）；
∴当x=2时，y=x﹣4x+3=2﹣4×2+3=﹣1； ∴P2的坐标为P2（2，﹣1）（即为抛物线顶点）． ∴P点坐标为P1（1，0），P2（2，﹣1）；
（3）由（2）知，当P点的坐标为P1（1，0）时，不能构成平行四边形； 当点P的坐标为P2（2，﹣1）（即顶点Q）时， 平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于F； ∵P（2，﹣1）， ∴可设F（x，1）； ∴x﹣4x+3=1， 解得x1=2﹣
，x2=2+
；
2
2
2
2
∴符合条件的F点有两个， 即F1（2﹣
，1），F2（2+
，1）．
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...
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2019-2020学年河南省新乡市中考数学一模试卷（有标准答案）
