第一章集合与简易逻辑教案
高中数学第一册(上) 第一章 集合与简易逻辑
◇教材分析
【知识结构】本章知识主要分为集合、简单不等式的解法(可瞧做集合的化简)、简易逻辑三部分:
【知识点与学习目标】
【高考评析】
集合知识作为整个数学知识的基础,在高考中重点考察的就是集合的化简,以及利用集合与简易逻辑的知识来指导我们思维,寻求解决其她问题的方法.
◇学习指导
【学法指导】本章的基本概念较多,要力求在理解的基础上进行记忆. 【数学思想】1.等价转化的数学思想; 2.求补集的思想; 3.分类思想; 4.数形结合思想.
第一章集合与简易逻辑教案
【解题规律】
1. 如何解决与集合的运算有关的问题？ 1) 对所给的集合进行尽可能的化简;
2) 有意识应用维恩图来寻找各集合之间的关系; 3) 有意识运用数轴或其它方法来直观显示各集合的元素. 2. 如何解决与简易逻辑有关的问题？ 1) 力求寻找构成此复合命题的简单命题;
2) 利用子集与推出关系的联系将问题转化为集合问题.
引言
通过一个实际问题,目的就是为了引出本章的内容。
1、 分析这个问题,要用数学语言描述它,就就是把它数学化,这就需要集合与逻辑的知识; 2、 要解决问题,也需要集合与逻辑的知识.
在教学时,主要就是把这个问题本身讲清楚,点出为什么“回答有20名同学参赛”不一定对.而要进一步认识、讨论这个问题,就需要运用本章所学的有关集合与逻辑的知识了.
§1、1集合
〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:
(1)初步理解集合的概念,知道常用数集及其记法; (2)初步了解“属于”关系的意义; (3)初步了解有限集、无限集、空集的意义.
〖教学重点与难点〗本小节的重点就是集合的基本概念与表示方法;难点就是运用集合的两种常用表示方法——列举法与描述法,正确表示一些简单的集合. 〖教学过程〗
☆本小节首先从初中代数与几何涉及的集合实例入手,引出集合与集合的元素的概念,并且结合实例对集合的概念作了说明.然后,介绍了集合的常用表示方法,包括列举法、描述法,还给出了画图表示集合的例子.
1、 集合的概念:
在初中代数里学习数的分类时,就用到“正数的集合”,“负数的集合”等此外,对于一元一次不等式2x一1＞3,所有大于2的实数都就是它的解.我们也可以说,这些数组成这个不等式的解的集合,简称为这个不等式的解集.
在初中几何里学习圆时,说圆就是到定点的距离等于定长的点的集合.几何图形都可以瞧成点的集合.
一般地,某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称集.这句话,只就是对集合概念的描述性说明.集合则就是集合论中原始的、不定义的概念.在开始接触集合的概念时,主要还就是通过实例,对概念有一个初步认识. 例如, “我校篮球队的队员”组成一个集合; “太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋”
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也组成一个集合.我们一般用大括号表示集合,上面的两个集合就可以分别表示成4我校篮球队的队员)与4太平洋。大西洋,印度洋,北冰洋).为了方便起见,我们还经常用大写的拉丁字母表示集合.例如,A＝｛太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋｝,B＝｛1,2,3,4,5｝.
集合中的每个对象叫做这个集合的元素.例如,“地球上的四大洋”这一集合的元素就是:太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋.集合的元素常用小写的拉丁字母表示。
2、集合中的元素具有确定性、互异性、无序性:
集合中的元素必须就是确定的。这就就是说,给定一个集合,任何一个对象就是不就是这个集合的元素也就确定7。例如,给出集合(地球上的四大洋),它只有太平洋、大西洋、印度洋、北冰洋四个元素.其她对象都不就是它的元素.又如。 “我国的小河流”就不能组成一个集合,因为组成它的对象就是不确定的。
集合中的元素就是互异的。这就就是说,集合中的元素就是没有重复现象的,任何两个相同的对象在同一个集合中时,只能算作这个集合的一个元素.
集合中的元素就是无序的。这就就是说,集合中的元素排列与顺序无关。 3、常用的数集及其记法:
全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记作N,非负整数集内排除0的集,也称正整数集,表示成N或N?;
全体整数的集合通常简称整数集,记作Z; 全体有理数的集合通常简称有理数集,记作Q; 全体实数的集合通常简称实数集,记作R.
★(教科书中给出的常用数集的记法,就是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意以下两点: (1)自然数集与非负整数集就是相同的,也就就是说,自然数集包括数0; (2)非负整数集内排除0的集,表示成N或N?。
新的国家标准定义自然数集N含元素O.这样做一方面就是为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国 际标准,以便与之早日相衔接;另一方面,o还就是十进位数｛0,1,2,…,9｝中最小的数,有了0,减法运算a—a仍属于N,其中a∈N.)
4、 集合的表示方法,常用的有列举法与描述法: 列举法就是把集合中的元素一一列举出来的方法. 例如,由方程
**x2—1＝0的所有的解组成的集合,可以表示为｛-1,1｝;
又如,由所有大于0巳小于10的奇数组成的集合,可以表示为｛1,3,5,7,9｝。
描述法就是用确定的条件表示某些对象就是否属于这个集合的方法. 例如,不等式x-3＞2的解集可以表示为｛x ∈R｜x-3＞2｝;
★(列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法.要注意,一般无限集,不宜采用列举法,因为不能将无限集中的元素一一列举出来,而没有列举出来的元素往往难以确定.)
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5、集合的分类:
一般地,含有有限个元素的集合叫做有限集. 一般地,含有无限个元素的集合叫做无限集. 不含任何一个元素的集合叫做空集.记作φ。 6、 素与集合之间的关系:
如果a就是集合A的元素,就说a属于集合A,记作a∈A;如果a不就是集合A的元素,就说a不属于集合A,记作a?A(或a∈A).
例如,设B＝｛1,2,3,4,5｝,那么5∈B,8?B.
7、练习:①P5与P6练习。②P7习题1、1第1题、第2题的⑴、⑵。 8、 小结:(略)。
9、作业:①P7习题1、1第2题的⑶、⑷。②练习册:§1、1集合的内容。
§1.2子集、全集、补集
〖教学目的〗通过本小节的学习,使学生达到以下要求:
(1)了解集合的包含、相等关系的意义; (2)理解子集、真子集的概念; (3)理解补集的概念; (4)了解全集的意义.
〖教学重点与难点〗本小节的重点就是子集、补集的概念,难点就是弄清元素与子集、属于与包含之间的区别。 〖教学过程〗
☆本小节分为两部分:第一部分讲子集,第二部分讲全集与补集.
第一部分先介绍集合与集合之间的“包含”与“相等”关系,并引出于集的概念,然后,对比集合的“包含”与“相等”关系,得出真子集的概念以及子集与真子集的有关性质.
第二部分就是在子集概念的基础上讲述补集的概念,并介绍了全集的概念. 1、子集的定义:
先瞧集合与集合之间的“包含”关系设A＝｛1,2,3｝, B＝｛1,2,3,4,5｝,集合A就是集合B的一部分,我们就说集合B包含集合A。
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都就是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合B包含集合A,记作A?B(或B?A).这时我们也说集合A就是集合B的子集.
当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,则记作A?B(或B?A). 规定:空集就是任何集台的子集。也就就是说,对于任何一个集合A,有φ?A。 2、集合与集合的相等 :
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都就是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都就是集合A的元素, 我们就说集合A等于集合B。记作 A＝B。
3、真子集的定义:
对于两个集合A与B, 如果A?B,并且A≠B,我们就说集合A就是集合B的真子集, 记作A?B(或B?A)。
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★(关于子集与真子集的记法,教科书中采用的就是新的国家标准,与原教科书不尽相同,应该注意;在开始接触子集与真子集的符号时,要提醒学生注意这些符号的方向不要搞错.)
4、性质:
①A?A(任何一个集台就是它本身的子集); ②空集就是任何非空集合的真子集;
③对于集合A,B,C,如果A?B,B?C,那么A?C.
同样可知,如果A?B,B?C,那么A?C.
④对于集合A,B,如果A?B,同时B?A,那么A＝B. 5、一些容易混淆的符号的区分:
① ∈与?的区别:∈就是表示元素与集合之间关系的,因此,有1∈N, —1∈N等;?就是表示集合与集合之间关系的,因此,有N?R,φ?R等.
②a与｛a｝的区别:一般地,a表示一个元素,而｛a｝表示只有一个元素的一个集合.因此,有1∈｛1,2,3｝,0∈｛0｝,｛1｝?｛1,2,3｝等,不能写成0=｛0｝,｛1｝∈｛1,2,3｝.
③｛0｝与φ的区别:｛0｝就是含有一个元素的集合,φ就是不含任何元素的集合,因此,有φ?｛0｝,不能写成φ＝｛0｝、φ∈｛0｝.
④｛φ｝与φ的区别:｛φ｝就是含有一个元素φ的集合,φ就是不含任何元素的集合,因此,有φ?｛φ｝、φ?｛φ｝、φ∈｛φ｝,不能写成φ＝｛φ｝.
6、补集与全集的定义:
一般地,设S就是一个集合,A就是S的一个子集(即A?S),由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)。记作CSA,即
CSA＝{x｜x∈S,且x?A}.
如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以瞧作一个全集,全集通常用U表示.例如.在实数范围内讨论问题时,可以把实数集R瞧作全集。
有理数集Q的补集CUQ就是全体无理数的集合。 ★ (关于补集,新的国家标准规定。
与补集相关的概念就是集合的差,教科书中没有这个概念.集合A与集合B之差或集合A减集合B记作A＼B,即A＼B＝{x｜x∈A,且x?A}. 要注意,上式等号右边与补集定义中的式子类似,但意义不同.在CAB中,要求B就是A的子集; A＼B中,B可以不就是A的子集.当B就是A的子集的时候,也可以写成CAB＝A＼B.) 7、 补集性质:
CUU=φ,CUφ=U,CU (CUA)=A。
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